beeschool — Образование нового поколения

1. Тригонометрические уравнения

а) Решите уравнение \({\sin^2}x + \sin x — 2 = 0\).

б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку \([0; 2\pi]\).

Показать ответ и решение

Шаг 1. Введём замену переменной

Посмотрим на уравнение:

\[\sin^2 x + \sin x — 2 = 0.\]

Оно выглядит как квадратное уравнение по переменной \( \sin x \)! А значит, можно упростить: пусть

\[\sin x = t, \quad \text{где } t \in [-1; 1].\]

(Ограничение на \( t \) — потому что синус любого угла всегда лежит в интервале от −1 до 1.)

Теперь уравнение перепишется так:

\[t^2 + t — 2 = 0.\]

Шаг 2. Решим квадратное уравнение

Ищем корни квадратного уравнения:

\[t^2 + t — 2 = 0.\]

Решим по дискриминанту:

\[D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.\]

Извлекаем корень:

\[\sqrt{D} = 3.\]

Находим корни:

\[t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \qquad t_2 = \frac{-1 — 3}{2} = -2.\]

Теперь проверим, какие из этих корней допустимы при условии \( t \in [-1; 1] \):

— \( t = 1 \) — допустимо

— \( t = -2 \) — не входит в промежуток от -1 до 1, значит, отбрасываем.

Шаг 3. Возвращаемся к переменной \( x \)

Мы решили, что:

\[\sin x = 1.\]

Теперь найдём все \( x \), при которых синус равен 1.

А где синус равен 1? Это происходит на тригонометрической окружности в верхней точке — на угле:

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.\]

(потому что синус периодичен с периодом \( 2\pi \) — вершина окружности повторяется каждые \( 2\pi \).)

Ответ к пункту а)

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Шаг 4. Найдём корни на отрезке \([0; 2\pi]\)

Рассматриваем значение:

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k.\]

Подставим разные значения \( k \) и найдём те, которые попадают в промежуток \( [0; 2\pi] \):

— При \( k = 0 \):

\[x = \frac{\pi}{2} \in [0;\ 2\pi] \quad \]

— При \( k = 1 \):

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85 > 2\pi,\quad \text{не подходит} \]

— При \( k = -1 \):

\[x = \frac{\pi}{2} — 2\pi = -\frac{3\pi}{2} < 0 \quad \]

Так что единственный подходящий корень на отрезке \( [0; 2\pi] \) — это:

\[x = \frac{\pi}{2}.\]

Ответ к пункту б)

\[x = \frac{\pi}{2}.\]

Итоговый ответ

а)

\[\left\{\begin{array}{lr}x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \\k \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\]

б) \( x = \frac{\pi}{2} \)

Варианты ответа для теста

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2}\]

\[x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{3\pi}{2}\]

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\]

\[x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = 0, \pi, 2\pi\]

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2}\]

2. Тригонометрические уравнения

а) Решите уравнение

\[2{\cos ^2}\dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2} — 1 = 0;\]

б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку

\[\left[ -\pi;\, \pi \right].\]

Показать ответ и решение

Шаг 1. Заменим переменную ради упрощения

Увидим, что уравнение содержит только одно тригонометрическое выражение: \( \cos \dfrac{x}{2} \). Чтобы упростить и не пугаться квадратов, давай обозначим:

Пусть

\( t = \cos \dfrac{x}{2}, \;\;\; t \in [-1; 1] \).

(Не забываем область определения — косинус не выйдет за границы от -1 до 1)

Тогда исходное уравнение превращается в квадратное:

\( 2t^2 + t — 1 = 0 \)

Шаг 2. Найдём корни квадратного уравнения

Решим уравнение:

\( 2t^2 + t — 1 = 0 \)

Вспоминаем дискриминант:

\( D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \)

Тогда:

\( t_1 = \dfrac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \)

\( t_2 = \dfrac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{-4}{4} = -1 \)

Оба корня входят в ОДЗ (в пределах [–1; 1]) — значит, всё хорошо

Шаг 3. Вернёмся к переменной x

Мы решали замену:

\( t = \cos \dfrac{x}{2} \)

Получилось два случая (совокупность! — разные возможные значения \( t \)):

Рассматриваем совокупность — значит, находим все значения \( x \), подходящие хотя бы под одно из условий.

\[\left[ \begin{array}{l} \cos \dfrac{x}{2} = -1 \\ \cos \dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{2} \end{array}\right.\]

Шаг 4. Решим первое уравнение

\( \cos \dfrac{x}{2} = -1 \)

Косинус равен -1 только в точке:

\[\dfrac{x}{2} = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = 2\pi + 4\pi k,\;\;\; k \in \mathbb{Z}\]

Шаг 5. Решим второе уравнение

\( \cos \dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{2} \)

Косинус равен \( \dfrac{1}{2} \) в точках:

\[\dfrac{x}{2} = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\Rightarrow x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 4\pi k,\;\;\; k \in \mathbb{Z}\]

Шаг 6. Объединим все решения уравнения

У нас есть совокупность решений из двух случаев. Запишем общий ответ на пункт (а):

\[x = 2\pi + 4\pi k,\;\;\;x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 4\pi k,\;\;\;k \in \mathbb{Z}\]

Шаг 7. Отберём корни на отрезке \([ -\pi; \pi ]\)

Теперь ищем значения \( x \), которые укладываются в промежуток \([ -\pi; \pi ]\)

Подставим различные значения \( k \) и посмотрим, какие \( x \) попадают в этот промежуток:

— Рассмотрим \( x = 2\pi + 4\pi k \).

Если \( k = 0 \) → \( x = 2\pi \approx 6.28 \) — не входит в отрезок \([−\pi; \pi]\)

Если \( k < 0 \) → \( x < 0 \), но слишком мало — не подходит.

— Теперь рассмотрим \( x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 4\pi k \)

Если \( k = 0 \) →

\( x = \pm \dfrac{2\pi}{3} \approx \pm 2.09 \)

Это значение входит в отрезок \([−\pi; \pi]\) — отлично!

Если \( k \neq 0 \) → \( x \) становится слишком большим по модулю — выходит за пределы.

Итак, на отрезке \([−\pi; \pi]\) остаются:

\[x = -\dfrac{2\pi}{3},\;\;\; x = \dfrac{2\pi}{3}\]

Ответ:

а)

\[\left[\begin{array}{lr}x = 2\pi + 4\pi k \\x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 4\pi k\end{array}\right.\quad k \in \mathbb{Z}\]

б) \( x = -\dfrac{2\pi}{3} \), \( x = \dfrac{2\pi}{3} \)

3. Тригонометрические уравнения

\[\begin{align*}\text{а)} \quad & \text{Решите уравнение:}\quad tg^2 x + 5\,tg x — 6 = 0; \\\text{б)} \quad & \text{Найдите все корни, принадлежащие промежутку}~ [0; \pi].\end{align*}\]

Показать ответ и решение

Шаг 1. Заменим неудобную тригонометрию на букву.

Чтобы упростить работу с уравнением, введём замену переменной:

Пусть \( tg x = t \), тогда уравнение превращается в обычное квадратное:

\[t^{2} + 5t — 6 = 0\]

Шаг 2. Найдём дискриминант.

Формула дискриминанта: \( D = b^{2} — 4ac \).

Здесь: \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = -6 \).

Тогда:

\[D = 5^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\]

Отлично, дискриминант положительный, значит есть два корня.

Шаг 3. Найдём корни квадратного уравнения.

Формула корней:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляем:

\[t_1 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1\quadt_2 = \frac{-5 — 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

Таким образом, получили:

\(t = 1\) или \(t = -6\)

Это совокупность:

\[\left[\begin{array}{l}t = 1 \\t = -6\end{array}\right.\]

(Напоминаю: совокупность — это «ИЛИ», значит подойдёт любой из них.)

Шаг 4. Возвращаемся к исходной переменной.

Мы заменяли \( tg x = t \), теперь подставим значения обратно:

Рассматриваем совокупность:

\[\left[\begin{array}{lr}tg x = 1 & \implies x = arctg 1 + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k \\tg x = -6 & \implies x = arctg(-6) + \pi k = -arctg 6 + \pi k\end{array}\right.\quad k \in \mathbb{Z}\]

(Здесь \( k \in \mathbb{Z} \), потому что тангенс — периодическая функция с периодом \( \pi \).)

Итак, получили общее решение:

Ответ к пункту а):

\[x = \frac{\pi}{4} + \pi k \quad \text{или} \quad x = -arctg 6 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Шаг 5. Отбираем корни на отрезке \([0; \pi]\).

Теперь найдём те значения \( x \), которые лежат в промежутке \([0; \pi]\).

Рассмотрим первое семейство:

\[x = \frac{\pi}{4} + \pi k\]

Найдём, при каких \( k \) значение \( x \) попадает на отрезок \([0; \pi]\):

Если \( k = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{4} \approx 0.785 \) — подходит

Если \( k = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{4} + \pi \approx 3.926 > \pi \) — не подходит

Значит, из этого семейства подойдёт только \( x = \frac{\pi}{4} \).

Теперь второе семейство:

\[x = -arctg 6 + \pi k\]

(Здесь \( arctg 6 \approx 1.405 \) с округлением до трёх знаков.)

Если \( k = 1 \), то \( x = -1.405 + 3.141 = 1.736 \) — подходит

Если \( k = 0 \), то \( x = -1.405 \) — не попадает в \([0; \pi]\)

Значит, из этого семейства подойдёт:

\[x = \pi — arctg 6\]

Да, тут нужно учитывать, что \( arctg 6 > 1 \), поэтому и ищем \( x = \pi — arctg 6 \) — оно положительно и попадает в промежуток.

Ответ к пункту б):

\[x = \frac{\pi}{4} \quad \text{и} \quad x = \pi — arctg 6\]

Ответ:

а)

\[\left[\begin{array}{lr}x = \frac{\pi}{4} + \pi k \\x = -arctg 6 + \pi k\end{array}\right.\quad k \in \mathbb{Z}\]

б) \( x = \frac{\pi}{4} \), \( x = \pi — arctg 6 \)

4. Тригонометрические уравнения

\( \text{а)} \) Решите уравнение

\[4\,\mathrm{ctg}\,2x + \mathrm{ctg}^2 2x — 5 = 0;\]

\( \text{б)} \) Найдите все корни, принадлежащие промежутку \( [ -\pi; 0 ] \).

Показать ответ и решение

Решим уравнение

Дано уравнение: \(4 \cdot \cot(2x) + \cot^2(2x) — 5 = 0\)

Шаг 1. Вводим замену для упрощения уравнения

Пусть:

\( \cot(2x) = t, \quad t \in \mathbb{R} \)

Подставим замену в уравнение:

\[t^2 + 4t — 5 = 0\]

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение

Вычислим дискриминант:

\[D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\]

Найдем корни:

\[t_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{-4 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 — 6}{2} = -5\]

Получаем совокупность уравнений:

\[\left[\begin{array}{l}\cot(2x) = 1 \\\cot(2x) = -5\end{array}\right.\]

Шаг 3. Решаем каждое уравнение из совокупности

Рассмотрим уравнение \(\cot(2x) = 1\). По свойствам котангенса:

\[2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Отсюда:

\[x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\]

Рассмотрим уравнение \(\cot(2x) = -5\). Используем обратную функцию arcctg:

Из определения и свойств котангенса:

\[arcctg(-5) = \pi — arcctg(5)\]

Следовательно:

\[2x = arcctg(-5) + \pi k = \pi — arcctg(5) + \pi k\]

Или, учитывая периодичность, можно записать:

\[2x = -arcctg(5) + \pi k\]

Отсюда:

\[x = -\frac{1}{2} arcctg(5) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Шаг 4. Запишем общий ответ к пункту а

Получаем совокупность решений:

\[\left[\begin{array}{l}x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \\x = -\frac{1}{2} arcctg(5) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\]

б) Найдем все корни, принадлежащие промежутку \([- \pi; 0]\)

Рассмотрим первую серию:

\[x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\]

Подставим \(k = -2, -1, 0\):

\[k = -2: \quad x = \frac{\pi}{8} — \pi = -\frac{7\pi}{8} \in [-\pi; 0]\]

\[k = -1: \quad x = \frac{\pi}{8} — \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{8} \in [-\pi; 0]\]

\[k = 0: \quad x = \frac{\pi}{8} \notin [-\pi; 0]\]

Рассмотрим вторую серию:

\[x = -\frac{1}{2} arcctg(5) + \frac{\pi k}{2}\]

Приблизительно \(arcctg(5) \approx 0.1974\), значит:

\[-\frac{1}{2} arcctg(5) \approx -0.0987\]

Подставим \(k = 0, -1\):

\[k = 0: \quad x \approx -0.0987 \in [-\pi; 0]\]

\[k = -1: \quad x \approx -0.0987 — \frac{\pi}{2} \approx -1.67 \in [-\pi; 0]\]

Ответ:

а)

\[\left[\begin{array}{lr}x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \\x = -\frac{1}{2} arcctg(5) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\]

б) \(x = -\frac{7\pi}{8}, \quad x = -\frac{3\pi}{8}, \quad x = -\frac{1}{2} arcctg(5), \quad x = -\frac{1}{2} arcctg(5) — \frac{\pi}{2}\)

5. Тригонометрические уравнения

а) Решите уравнение

\[3 \sin^2 2x + 10 \sin 2x + 3 = 0;\]

б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку \([0;\, \pi]\).

Показать ответ и решение

Шаг 1. Замена тригонометрического выражения на переменную

У нас квадратное уравнение по синусу. Сделаем замену:

Пусть

\( \sin 2x = t \), тогда по определению синуса, \( t \in [-1; 1] \)

Подставим:

Тогда уравнение превращается в обычное квадратное:

\( 3t^2 + 10t + 3 = 0 \)

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение

Используем формулу корней квадратного уравнения. Напомню:

Если \( at^2 + bt + c = 0 \), то

\( t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a} \)

У нас:

a = 3, b = 10, c = 3

Считаем дискриминант:

\[D = 10^2 — 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 — 36 = 64\]

Тогда корни:

\[t_1 = \dfrac{-10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \dfrac{-10 + 8}{6} = \dfrac{-2}{6} = -\dfrac{1}{3}\]

\[t_2 = \dfrac{-10 — \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \dfrac{-10 — 8}{6} = \dfrac{-18}{6} = -3\]

Шаг 3. Проверим допустимость корней

Помним, что \( \sin 2x = t \), а синус может быть только от -1 до 1.

Проверим:

— \( t = -\dfrac{1}{3} \in [-1; 1] \) — подходит ✅

— \( t = -3 \notin [-1; 1] \) — не подходит ❌

Оставим только один корень:

\( \sin 2x = -\dfrac{1}{3} \)

Шаг 4. Решаем тригонометрическое уравнение

Теперь решаем уравнение:

\( \sin 2x = -\dfrac{1}{3} \)

Синус принимает отрицательное значение, значит, решения будут во 3 и 4 четвертях тригонометрической окружности. Вспоминаем основную формулу для уравнения \( \sin \alpha = a \):

— \( \alpha = -\arcsin a + 2\pi k \)

— \( \alpha = \pi + \arcsin a + 2\pi k \)

У нас:

\( a = \dfrac{1}{3} \), значит:

Рассматриваем совокупность (помним: «ИЛИ» означает квадратную скобку!):

\[\left[\begin{array}{l}2x = -\arcsin\dfrac{1}{3} + 2\pi k \\[6pt]2x = \pi + \arcsin\dfrac{1}{3} + 2\pi k\end{array}\right.\quad k \in \mathbb{Z}\]

Теперь выразим \( x \):

\[\left[\begin{array}{l}x = -\dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} + \pi k \\[6pt]x = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} + \pi k\end{array}\right.\quad k \in \mathbb{Z}\]

Это и будет общее решение уравнения.

Ответ:

а)

\[\left[\begin{array}{l}x = -\dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} + \pi k \\[6pt]x = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} + \pi k\end{array}\right.\quad k \in \mathbb{Z}\]

Шаг 5. Работаем с первым выражением

Рассматриваем:

\( x = -\dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} + \pi k \)

Обозначим:

\( \alpha = \arcsin\dfrac{1}{3} \), тогда это положительное число, и приблизительно:

\( \alpha \approx 0.3398 \)

Тогда:

\[x = -\dfrac{1}{2} \cdot 0.3398 + \pi k \approx -0.1699 + \pi k\]

Теперь найдём такие \( k \), чтобы \( x \) попал в отрезок от 0 до \( \pi \).

Подставим \( k = 1 \):

\( x \approx -0.17 + \pi \approx 2.97 \) — подходит ✅

Подставим \( k = 0 \):

\( x \approx -0.17 \) — не принадлежит \([0; \pi]\) ❌

Так что из этого выражения подойдёт:

\[x = \pi — \dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3}\]

Шаг 6. Работаем со вторым выражением

Рассматриваем:

\( x = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} + \pi k \approx 1.57 + 0.17 + \pi k \approx 1.74 + \pi k \)

Подставим \( k = 0 \):

\( x \approx 1.74 \) — попадает в \([0; \pi]\) ✅

Подставим \( k = 1 \):

\( x \approx 1.74 + 3.14 \approx 4.88 \) — уже больше \( \pi \) ❌

Значит, подойдёт только:

\[x = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3}\]

Ответ:

б) \( x = \pi — \dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} \), \( x = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} \)

Финальный ответ

а)

\[\left[\begin{array}{l}x = -\dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} + \pi k \\[6pt]x = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} + \pi k\end{array}\right.\quad k \in \mathbb{Z}\]

б) \( x = \pi — \dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} \), \( x = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{1}{2} \arcsin\dfrac{1}{3} \)