Логарифмические неравенства
1. Логарифмические неравенства
\[{\log _7}\left( 4x + 11 \right) — {\log _7}\left( 25 — x^2 \right) \ge \sin \dfrac{11\pi}{2}\]
Показать ответ и решение
Для существования логарифмов необходимо:
\[\left\{\begin{array}{l}4x + 11 > 0 \\25 — x^2 > 0\end{array}\right.\]
Первое неравенство: \(4x + 11 > 0 \implies x > -\frac{11}{4}\)
Второе неравенство: \(25 — x^2 > 0 \implies -5 < x < 5\)
Пересечение: \(x \in \left(-\frac{11}{4};\;5\right)\)
\[\sin\frac{11\pi}{2} = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\]
\[\log_7(4x + 11) — \log_7(25 — x^2) \ge -1\]
\[\log_7\left(\frac{4x + 11}{25 — x^2}\right) \ge -1\]
\[-1 = \log_7\left(\frac{1}{7}\right)\]
\[\log_7\left(\frac{4x + 11}{25 — x^2}\right) \ge \log_7\left(\frac{1}{7}\right)\]
Так как функция \(\log_7 x\) возрастает, знак неравенства сохраняется:
\[\frac{4x + 11}{25 — x^2} \ge \frac{1}{7}\]
Домножим обе части на 7 (знак сохраняется):
\[\frac{28x + 77}{25 — x^2} \ge 1\]
\[\frac{28x + 77 — (25 — x^2)}{25 — x^2} \ge 0\]
\[\frac{x^2 + 28x + 52}{25 — x^2} \ge 0\]
Числитель:
\[x^2 + 28x + 52 = 0\]
\[D = 784 — 208 = 576,\quad \sqrt{576} = 24\]
\[x_1 = \frac{-28 + 24}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{-28 — 24}{2} = -26\]
Знаменатель:
\[25 — x^2 = 0 \implies x = -5,\;5\]
Рассмотрим интервалы с учётом ОДЗ \(x \in \left(-\frac{11}{4};\;5\right)\):
\[\left[\begin{array}{l}x \in [-2;\;5)\end{array}\right.\]
\[\boxed{\,\left[\, -2\,;\;5\,\right)\,}\]
\[\left[ -2\,;\;5 \right) \qquad \text{✅}\]
\[\left( -\frac{11}{4}\,;\;5 \right)\]
\[\left[ -26\,;\;-5 \right)\]
\[\left( -2\,;\;5 \right]\]
\[\left[ -5\,;\;2 \right)\]
2. Логарифмические неравенства
\[\log_2(3x-2) — \log_2(36-x^2) \geq \sin \frac{15\pi}{2}\]
3. Логарифмические неравенства
\[\log_{2|x|}^2\left(4x^2\right) + \log_2\left(8x^2\right) \le 9.\]
Показать ответ и решение
\[\left\{\begin{aligned}2|x| \ne 1 \\x \ne 0\end{aligned}\right.\Rightarrowx \ne 0,\quad x \ne \pm \dfrac{1}{2}\]
\[\log_{2|x|}^2(4x^2) = \left( \log_{2|x|}(4x^2) \right)^2\]
\[4x^2 = (2|x|)^2 \implies \log_{2|x|}(4x^2) = 2\]
\[\left( \log_{2|x|}(4x^2) \right)^2 = 2^2 = 4\]
\[4 + \log_2(8x^2) \le 9 \implies \log_2(8x^2) \le 5\]
\[\log_2(8x^2) \le 5 \implies 8x^2 \le 32 \implies x^2 \le 4\]
\[-2 \le x \le 2\]
\[x \ne 0,\quad x \ne \pm \dfrac{1}{2}\]
\[\left[ -2; -\dfrac{1}{2} \right) \cup \left( -\dfrac{1}{2}; 0 \right) \cup \left( 0; \dfrac{1}{2} \right) \cup \left( \dfrac{1}{2}; 2 \right]\]
\[\left[ -2; -\dfrac{1}{2} \right) \cup \left( -\dfrac{1}{2}; 0 \right) \cup \left( 0; \dfrac{1}{2} \right) \cup \left( \dfrac{1}{2}; 2 \right]\]
\[\left[ -2; -\dfrac{1}{2} \right) \cup \left( -\dfrac{1}{2}; 0 \right) \cup \left( 0; \dfrac{1}{2} \right) \cup \left( \dfrac{1}{2}; 2 \right]\] ✅
\[\left[ -2; 0 \right) \cup \left( 0; 2 \right]\]
\[\left[ -2; 2 \right] \setminus \left\{ -\dfrac{1}{2}, 0, \dfrac{1}{2} \right\}\]
\[\left( -2; -\dfrac{1}{2} \right] \cup \left[ \dfrac{1}{2}; 2 \right)\]
\[\left[ -2; -1 \right) \cup \left( 1; 2 \right]\]
4. Логарифмические неравенства
\[\text{Решите неравенство:} \qquad \log^2_{5|x|}(25x^2) + \log_5(25x^2) \leq 8.\]
Показать ответ и решение
Для существования логарифмов необходимо:
\[\left\{\begin{aligned}x &\ne 0 \\x &\ne \pm \frac{1}{5}\end{aligned}\right.\]
То есть \( x \ne 0,\, x \ne \pm 0{,}2 \)
Преобразуем первый логарифм:
\[\log^2_{5|x|}(25x^2) = \left( \log_{5|x|} (5|x|)^2 \right)^2 = (2)^2 = 4\]
Теперь неравенство принимает вид:
\[4 + \log_5(25x^2) \leq 8\]
\[\log_5(25x^2) \leq 4\]
Переходим к неравенству без логарифма:
\[25x^2 \leq 625\]
\[x^2 \leq 25\]
\[-5 \leq x \leq 5\]
Исключаем из отрезка точки \( x = 0 \), \( x = \pm 0{,}2 \):
\[x \in [ -5;\; -0{,}2 ) \cup ( -0{,}2;\; 0 ) \cup ( 0;\; 0{,}2 ) \cup ( 0{,}2;\; 5 ]\]
\[\boxed{\left[ -5;\; -0{,}2 \right) \cup \left( -0{,}2;\; 0 \right) \cup \left( 0;\; 0{,}2 \right) \cup \left( 0{,}2;\; 5 \right]}\]
\(\left[ -5;\; -0{,}2 \right) \cup \left( -0{,}2;\; 0 \right) \cup \left( 0;\; 0{,}2 \right) \cup \left( 0{,}2;\; 5 \right]\) ✅
\(\left[ -5;\; 5 \right] \setminus \{ 0 \}\)
\(\left[ -5;\; -0{,}2 \right) \cup \left( -0{,}2;\; 0{,}2 \right) \cup \left( 0{,}2;\; 5 \right]\)
\(\left( -5;\; 5 \right)\)
\(\left[ -5;\; -0{,}2 \right] \cup \left[ 0{,}2;\; 5 \right]\)
5. Логарифмические неравенства
\[{\log _3}\left( {x + 5} \right) \ge {\log _{9-x}}\left( {9-x} \right)\]
Показать ответ и решение
\[\left\{\begin{array}{l}x + 5 > 0 \\9 — x > 0 \\9 — x \neq 1\end{array}\right.\]
\[\left\{\begin{array}{l}x > -5 \\x < 9 \\x \neq 8\end{array}\right.\]
\[x \in (-5; 8) \cup (8; 9)\]
\[\log_{9-x}(9-x) = 1\]
\[\log_3(x + 5) \ge 1\]
\[\log_3(x + 5) \ge 1 \implies x + 5 \ge 3 \implies x \ge -2\]
\[x \ge -2 \quad \cap \quad x \in (-5; 8) \cup (8; 9)\]
\[x \in [-2; 8) \cup (8; 9)\]
\[x \in [-2; 8) \cup (8; 9)\]