Решите неравенство \({x^2} + \left( {2 — \sqrt {15} } \right)x — 2\sqrt {15} \le 0\).
 1) Приведём неравенство к стандартному виду  \({x^2} + \left( {2 — \sqrt {15} } \right)x — 2\sqrt {15} \le 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; {x^2} + 2x — \sqrt {15} x — 2\sqrt {15} \le 0\)
 2) Упростим выражение  \( \Leftrightarrow \;\;\; x\left( {x + 2} \right) — \sqrt {15} \left( {x + 2} \right) \le 0\)
 3) Разложим на множители  \( \Leftrightarrow \;\;\; \left( {x + 2} \right)\left( {x — \sqrt {15} } \right) \le 0\)
 4) Применим метод интервалов 

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ { — 2;\sqrt {15} } \right].\)
Ответ: \(\left[ { — 2;\sqrt {15} } \right].\)

\(x^2 — 3x + 1 — \frac{x^3 + x^2 + 3x — 21}{x} \geq 3\)
 
1) Приведём к общему виду 
\(\frac{x^3 — 3x^2 + x — (x^3 + x^2 + 3x — 21)}{x} \geq 0\)
 
2) Упростим выражение 
\(\frac{-4x^2 — 5x + 21}{x} \geq 0\)
 
3) Изменим неравенство 
\(\frac{4x^2 + 5x — 21}{x} \leq 0\)
 
4) Найдём нули числителя и знаменателя 
\(4x^2 + 5x — 21 = 0\) при \(x = -3, \, x = \frac{7}{4}\)
Знаменатель: \(x = 0\)
 
5) Определим интервалы для решения неравенства 

Решение: \(x \in (-\infty; -3] \cup (0; \frac{7}{4}]\)

\(x \in (-\infty; -3] \cup \left(0; \frac{7}{4}\right]\)

Решите неравенство \(x^3 + 6x^2 + \dfrac{28x^2 + 2x — 10}{x — 5} \le 2\).
 
1) Перепишем неравенство 
\(x^3 + 6x^2 + \dfrac{28x^2 + 2x — 10}{x — 5} \le 2 \)
 
2) Приведём все к одной стороне 
\(\Leftrightarrow x^3 + 6x^2 + \dfrac{28x^2 + 2x — 10 — 2x + 10}{x — 5} \le 0\)
 
3) Упростим дробь 
\(\Leftrightarrow x^3 + 6x^2 + \dfrac{28x^2}{x — 5} \le 0\)
 
4) Приведём к общему знаменателю 
\(\Leftrightarrow \dfrac{x^4 — 5x^3 + 6x^3 — 30x^2 + 28x^2}{x — 5} \le 0\)
 
5) Упростим числитель 
\(\Leftrightarrow \dfrac{x^4 + x^3 — 2x^2}{x — 5} \le 0\)
 
6) Вынесем общий множитель 
\(\Leftrightarrow \dfrac{x^2(x^2 + x — 2)}{x — 5} \le 0\)
 
7) Найдём корни 
\(x^2 + x — 2 = 0 \)
 
8) Решим квадратное уравнение 
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -2, \\ x = 1. \end{array}\right.\)
 
9) Разложим на множители 
\(x^2 + x — 2 = (x + 2)(x — 1)\)
 
10) Запишем неравенство 
\(\dfrac{x^2(x + 2)(x — 1)}{x — 5} \le 0\)
 
11) Применим метод интервалов 

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in (-\infty; -2] \cup \{0\} \cup [1; 5)\)
\((-\infty; -2] \cup \{0\} \cup [1; 5)\)

Решите неравенство
\[
\dfrac{{{x^3} + {x^2}}}{{{x^2} — 2x + 1}} \le \dfrac{9}{4} \cdot \dfrac{{x + 1}}{{{x^2} — 2x + 1}}.
\]

 
1) Приведём обе части неравенства к общему знаменателю 
\[
\dfrac{{4{x^3} + 4{x^2} — 9x — 9}}{{4{{\left( {x — 1} \right)}^2}}} \le 0.
\]
 
2) Упростим числители 
\[
\dfrac{{4{x^2}\left( {x + 1} \right) — 9\left( {x + 1} \right)}}{{4{{\left( {x — 1} \right)}^2}}} \le 0.
\]
 
3) Разложим числитель на множители 
\[
\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} — 9} \right)}}{{4{{\left( {x — 1} \right)}^2}}} \le 0.
\]
 
4) Применим метод интервалов для нахождения решений 

\[
\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{{\left( {2x} \right)}^2} — {3^2}} \right)}}{{4{{\left( {x — 1} \right)}^2}}} \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {2x — 3} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{4{{\left( {x — 1} \right)}^2}}} \le 0.
\]

\(\left( { — \infty ; — \dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ { — 1;1} \right) \cup \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right]\)

\[
\dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{2}{{x + 2}} — \dfrac{6}{{x + 3}} \ge 0
\]
 
1) Приведём к общему знаменателю:
\[
\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) — 6\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} \ge 0
\]
 
2) Упростим числитель:
\[
\dfrac{{{x^2} + 2x + 3x + 6 + 2{x^2} + 6x + 2x + 6 — 6{x^2} — 12x — 6x — 12}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} \ge 0
\]
 
3) Объединим подобные слагаемые:
\[
\dfrac{{ — 3{x^2} — 5x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} \ge 0
\]
 
4) Изменим знак дроби:
\[
\dfrac{{x\left( {3x + 5} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} \le 0
\]
 
5) Применим метод интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:
\[
x \in \left( { — \infty ; — 3} \right) \cup \left( { — 2; — \dfrac{5}{3}} \right] \cup \left( { — 1; 0} \right]
\]

\[
\left( { — \infty ; — 3} \right) \cup \left( { — 2; — \dfrac{5}{3}} \right] \cup \left( { — 1; 0} \right]
\]

\( x + \dfrac{{8x — 25}}{{x — 3}} + \dfrac{{x^2 + 41x — 136}}{{x^2 — 10x + 21}} \le 1 \)
 
1) Упростим неравенство: 
\(\dfrac{x}{1} + \dfrac{8x — 25}{x — 3} + \dfrac{x^2 + 41x — 136}{(x — 3)(x — 7)} — 1 \le 0\)

 
2) Приведем к общему знаменателю: 
\(\dfrac{x(x^2 — 10x + 21) + (8x — 25)(x — 7) + x^2 + 41x — 136 — x^2 + 10x — 21}{(x — 3)(x — 7)} \le 0\)

 
3) Упростим числитель: 
\(\dfrac{x^3 — 10x^2 + 21x + 8x^2 — 56x — 25x + 175 + 51x — 157}{(x — 3)(x — 7)} \le 0\)

 
4) Получим: 
\(\dfrac{x^3 — 2x^2 — 9x + 18}{(x — 3)(x — 7)} \le 0\)

 
5) Разложим числитель: 
\(\dfrac{(x — 2)(x^2 — 3^2)}{(x — 3)(x — 7)} \le 0\)

 
6) Преобразуем: 
\(\dfrac{(x — 2)(x — 3)(x + 3)}{(x — 3)(x — 7)} \le 0\)

 
7) Исключим деление на ноль: 
\(\left\{ \dfrac{(x — 2)(x + 3)}{(x — 7)} \le 0, \quad x — 3 \ne 0 \right\}\)

 
8) Решим неравенство методом интервалов:

 
Таким образом, решением исходного неравенства является:

\(\left( -\infty; -3 \right] \cup \left[ 2; 3 \right) \cup \left( 3; 7 \right)\)

Решите неравенство \(2x + 1 — \dfrac{21x + 39}{x^2 + x — 2} \ge -\dfrac{1}{x + 2}\).
 
1) Приведём левые части неравенства к общему знаменателю 
\(\dfrac{(2x + 1)(x + 2)(x — 1) — (21x + 39)(x + 2) + 1(x — 1)}{(x + 2)(x — 1)} \ge 0\)

 
2) Упростим числитель 
\(\dfrac{2x^3 + 3x^2 — 23x — 42}{(x + 2)(x — 1)} \ge 0\)

 
3) Найдём нули числителя 
\(2x^3 + 3x^2 — 23x — 42 = 0\)

 
4) Найдём корни кубического уравнения, используя делители свободного члена 
\(x = -2, x = -3, x = \dfrac{7}{2}\)

 
5) Неравенство можно записать в виде 
\(\dfrac{(x + 3)(2x — 7)(x + 2)}{(x + 2)(x — 1)} \ge 0\)

 
6) Применим метод интервалов 

\(x \in \left[ -3; -2 \right) \cup \left( -2; 1 \right) \cup \left[ \dfrac{7}{2}; \infty \right)\)

\(x \in \left[ -3; -2 \right) \cup \left( -2; 1 \right) \cup \left[ \dfrac{7}{2}; \infty \right)\)

Решите неравенство \({x^3} + 5{x^2} + \dfrac{{28{x^2} + 5x — 30}}{{x — 6}} \le 5\).
 
1) Приведём неравенство к общей форме 
\({x^3} + 5{x^2} + \dfrac{{28{x^2} + 5x — 30}}{{x — 6}} — 5 \le 0\)
 
2) Упростим дробь 
\(\dfrac{{{x^4} — 6{x^3} + 5{x^3} — 30{x^2} + 28{x^2} + 5x — 30 — 5x + 30}}{{x — 6}} \le 0\)
 
3) Сложим подобные члены 
\(\dfrac{{{x^4} — {x^3} — 2{x^2}}}{{x — 6}} \le 0\)
 
4) Разложим на множители 
\(\dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} — x — 2} \right)}}{{x — 6}} \le 0\)
 
5) Найдём корни квадратного уравнения 
\({x^2} — x — 2 = 0\)
 
6) Это уравнение имеет корни 
\(x = 2,\; x = -1\)
 
7) Разложим квадратичное выражение 
\({x^2} — x — 2 = \left( {x — 2} \right)\left( {x + 1} \right)\)
 
8) Подставим назад и упростим 
\(\dfrac{{{x^2}\left( {x — 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x — 6}} \le 0\)
 
9) Применим метод интервалов 
Решаем полученное неравенство, определяя знаки на промежутках:

Таким образом, решением исходного неравенства является:
 

\(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right] \cup \left\{ 0 \right\} \cup \left[ {2;6} \right)\)

\[
\dfrac{1}{{5x — 12}} + \dfrac{{2{x^2} — 6x + 1}}{{x — 3}} \ge 2x
\]
 
1) Приведём неравенство к общему виду:
\[
\dfrac{1}{{5x — 12}} + \dfrac{{2{x^2} — 6x + 1}}{{x — 3}} — 2x \ge 0
\]
 
2) Упростим дроби:
\[
\dfrac{1}{{5x — 12}} + \dfrac{{1 — 2{x^2} + 6x}}{{x — 3}} \ge 0
\]
 
3) Соединим дроби:
\[
\dfrac{x — 3 + 5x — 12}{{(5x — 12)(x — 3)}} \ge 0
\]
 
4) Применим метод интервалов:


\[
\dfrac{{6x — 15}}{{(5x — 12)(x — 3)}} \ge 0
\]
 

\[
x \in \left( {\dfrac{{12}}{5};\dfrac{5}{2}} \right] \cup \left( {3;\infty } \right)
\]

\(\dfrac{{{x^2} — 6x + 8}}{{x — 1}} — \dfrac{{x — 4}}{{{x^2} — 3x + 2}} \le 0\)

 
1) Упростим знаменатель второго дробного выражения 
\({x^2} — 3x + 2 = 0 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; \left[ {\begin{array}{l} {x = 2,} \\ {x = 1.} \end{array}} \right.\)

 
2) Разложим на множители 
\({x^2} — 3x + 2 = (x — 2)(x — 1)\)

 
3) Аналогично разложим первое выражение 
\({x^2} — 6x + 8 = 0 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; \left[ {\begin{array}{l} {x = 2,} \\ {x = 4.} \end{array}} \right.\)

 
\({x^2} — 6x + 8 = (x — 2)(x — 4)\)

 
4) Подставим разложенные выражения в неравенство 
\(\dfrac{(x — 2)(x — 4)}{x — 1} — \dfrac{x — 4}{(x — 2)(x — 1)} \le 0\)

 
5) Приведём дроби к общему знаменателю 
\(\dfrac{(x — 2)^2(x — 4) — (x — 4)}{(x — 2)(x — 1)} \le 0\)

 
6) Упростим числитель 
\(\dfrac{(x — 4)((x — 2)^2 — 1)}{(x — 2)(x — 1)} \le 0\)

 
7) Разложим на множители 
\(\dfrac{(x — 4)(x — 3)(x — 1)}{(x — 2)(x — 1)} \le 0\)

 
8) Распишем условия 
\(\left\{ {\begin{array}{l} {\dfrac{(x — 4)(x — 3)}{x — 2} \le 0,} \\ {x — 1 \ne 0.} \end{array}} \right.\)

 
9) Найдем решение неравенства 

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( -\infty; 1 \right) \cup \left( 1; 2 \right) \cup \left[ 3; 4 \right]\)

\(\left( -\infty; 1 \right) \cup \left( 1; 2 \right) \cup \left[ 3; 4 \right]\)