Преобразуем \( 4^x \) к основанию 2: \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \).

Также \( 2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x \).

Подставим:

\[19 \cdot 2^{2x} — 5 \cdot 4 \cdot 2^x + 1 = 0\]

\[19 \cdot 2^{2x} — 20 \cdot 2^x + 1 = 0\]

Пусть \( 2^x = t \), где \( t > 0 \). Тогда \( 2^{2x} = t^2 \). Получаем:

\[19t^2 — 20t + 1 = 0\]

Дискриминант:

\[D = (-20)^2 — 4 \cdot 19 \cdot 1 = 400 — 76 = 324\]

Корни:

\[t_1 = \frac{20 — \sqrt{324}}{2 \cdot 19} = \frac{20 — 18}{38} = \frac{2}{38} = \frac{1}{19}\]

\[t_2 = \frac{20 + \sqrt{324}}{2 \cdot 19} = \frac{20 + 18}{38} = \frac{38}{38} = 1\]

Рассматриваем совокупность:

\[\left[\begin{array}{lr}2^x = \frac{1}{19} \\2^x = 1\end{array}\right.\]

Преобразуем к \( x \):

\[2^x = \frac{1}{19} \implies x = -\log_2 19\]

\[2^x = 1 \implies x = 0\]

Проверяем, какие корни принадлежат отрезку \( [ -5; -4 ] \):

\[x_1 = -\log_2 19 \approx -4.25 \in [ -5; -4 ]\]

\[x_2 = 0 \notin [ -5; -4 ]\]

Подходит только \( x = -\log_2 19 \).

\[\left[\begin{array}{lr}x = -\log_2 19 \\x = 0\end{array}\right.\]

а)

\[\left[\begin{array}{lr}x = -\log_2 19 \\x = 0\end{array}\right.\]

б) \( x = -\log_2 19 \)

 
• \( x = -\log_2 19 \); \( x = 0 \)
  \( x = -\log_2 19 \) ✅
 
• \( x = -\log_2 19 \); \( x = 0 \)
  \( x = 0 \)
 
• \( x = -\log_2 19 \); \( x = 1 \)
  \( x = -\log_2 19 \)
 
• \( x = -\log_2 19 \); \( x = 1 \)
  \( x = 0 \)
 
• \( x = -\log_2 16 \); \( x = 0 \)
  \( x = -\log_2 16 \)
 

Преобразуем \(4^x\) как \(2^{2x}\), а \(2^{x+3}\) как \(8 \cdot 2^x\). Получим:

\[2^{2x} — 8 \cdot 2^x + 15 = 0\]

Пусть \(t = 2^x\), тогда \(2^{2x} = (2^x)^2 = t^2\). Подставим:

\[t^2 — 8t + 15 = 0\]

Вычислим дискриминант:

\[D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4\]

Найдём корни:

\[t_1 = \frac{8 — 2}{2} = 3, \quad t_2 = \frac{8 + 2}{2} = 5\]

Так как \(2^x > 0\), оба корня подходят.

Решаем уравнения:

\[\left[\begin{array}{l}2^x = 3 \\2^x = 5\end{array}\right.\]

Отсюда:

\[\left[\begin{array}{l}x = \log_2 3 \\x = \log_2 5\end{array}\right.\]

Оценим значения:

\[\sqrt{10} \approx 3{,}16\]

\[\log_2 3 \approx 1{,}58, \quad \log_2 5 \approx 2{,}32\]

\(\log_2 3\) не принадлежит отрезку \([2;\sqrt{10}]\), а \(\log_2 5\) принадлежит.

\[\left[\begin{array}{l}x = \log_2 3 \\x = \log_2 5\end{array}\right.\]

\(\log_2 5\) ✅

\(\log_2 3\)

2

\(\sqrt{10}\)

\(\log_2 15\)

Преобразуем \(9^x\) и \(3^{x+2}\) к основанию 3:

\[9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\]

\[3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x\]

Уравнение примет вид:

\[3^{2x} — 9 \cdot 3^x + 14 = 0\]

Пусть \(3^x = t\), тогда \(t > 0\).

\[3^{2x} = (3^x)^2 = t^2\]

Уравнение становится:

\[t^2 — 9t + 14 = 0\]

Вычислим дискриминант:

\[D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 — 56 = 25\]

Найдём корни:

\[\left[\begin{array}{l}t_1 = \dfrac{9 — 5}{2} = 2 \\t_2 = \dfrac{9 + 5}{2} = 7 \\\end{array}\right.\]

Решим уравнения:

\[\left[\begin{array}{l}3^x = 2 \\3^x = 7 \\\end{array}\right.\]

Выразим \(x\) через логарифмы:

\[\left[\begin{array}{l}x = \log_3 2 \\x = \log_3 7 \\\end{array}\right.\]

Проверим, какие корни принадлежат данному промежутку.

\[[1;\, \sqrt{5}]\]

\(x_1 = \log_3 2\). Поскольку \(2 < 3\), то \(\log_3 2 < 1\), значит, \(x_1\) не принадлежит отрезку.

\(x_2 = \log_3 7\). Поскольку \(7 > 3\), то \(\log_3 7 > 1\). Приблизительно \(\log_3 7 \approx 1.77\), а \(\sqrt{5} \approx 2.236\), значит, \(x_2\) принадлежит отрезку.

\[\left[\begin{array}{lr}x = \log_3 2 \\x = \log_3 7\end{array}\right.\]

\[\text{а) } \log_3 2;\; \log_3 7 \qquad \text{б) } \log_3 7\] ✅

\[\text{а) } \log_3 2;\; \log_3 7 \qquad \text{б) } \log_3 2\]

\[\text{а) } \log_3 2;\; \log_3 7 \qquad \text{б) } 1\]

\[\text{а) } \log_3 2;\; \log_3 7 \qquad \text{б) } \sqrt{5}\]

\[\text{а) } \log_3 2;\; \log_3 7 \qquad \text{б) } \log_3 14\]

Преобразуем выражения к одному основанию:

\[9^{x — \frac{1}{2}} = (3^2)^{x — \frac{1}{2}} = 3^{2x — 1}\]

Уравнение примет вид:

\[3^{2x — 1} — 8 \cdot 3^{x — 1} + 5 = 0\]

Запишем через \( 3^x \):

\[3^{2x — 1} = \frac{3^{2x}}{3}, \quad 3^{x — 1} = \frac{3^x}{3}\]

Подставим:

\[\frac{3^{2x}}{3} — 8 \cdot \frac{3^x}{3} + 5 = 0\]

Домножим на 3:

\[3^{2x} — 8 \cdot 3^x + 15 = 0\]

Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \).

Тогда уравнение:

\[t^2 — 8t + 15 = 0\]

Решим:

\[\begin{array}{l}D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4 \\t_1 = \frac{8 + \sqrt{4}}{2} = 5 \\t_2 = \frac{8 — \sqrt{4}}{2} = 3 \\\end{array}\]

\[\begin{array}{l}3^x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = \log_3 5 \\3^x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \\\end{array}\]

\[\left[\begin{array}{lr}x = 1 \\x = \log_3 5\end{array}\right.\]

\[\begin{array}{l}\text{а) } \left[\begin{array}{lr}x = 1 \\x = \log_3 5\end{array}\right. \\\text{б) } x = \log_3 5 \quad \text{✅} \\\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\text{а) } \left[\begin{array}{lr}x = 1 \\x = \log_3 5\end{array}\right. \\\text{б) } x = 1 \\\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\text{а) } \left[\begin{array}{lr}x = 1 \\x = \log_3 5\end{array}\right. \\\text{б) } x = 2 \\\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\text{а) } \left[\begin{array}{lr}x = 1 \\x = \log_3 5\end{array}\right. \\\text{б) } x = \log_3 3 \\\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\text{а) } \left[\begin{array}{lr}x = 1 \\x = \log_3 5\end{array}\right. \\\text{б) } x = 0 \\\end{array}\]

Рассмотрим уравнение:

\[4^{x^2 — 2x + 1} + 4^{x^2 — 2x} = 20\]

Заметим, что \( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \), а \( x^2 — 2x = (x — 1)^2 — 1 \).

Пусть \( t = 4^{x^2 — 2x} \). Тогда:

\[4^{(x^2 — 2x) + 1} + 4^{x^2 — 2x} = 4 \cdot 4^{x^2 — 2x} + 4^{x^2 — 2x} = 4t + t = 5t\]

\[5t = 20 \implies t = 4\]

\[t = 4^{x^2 — 2x} = 4\]

Поскольку \( 4 = 4^1 \), получаем:

\[x^2 — 2x = 1\]

\[x^2 — 2x — 1 = 0\]

Дискриминант:

\[D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8\]

Корни:

\[x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\]

\[x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41, \quad x_2 = 1 — \sqrt{2} \approx -0.41\]

Только \( x_2 \) принадлежит отрезку \([ -1; 2 ]\).

\[\left[\begin{array}{l}x = 1 + \sqrt{2} \\x = 1 — \sqrt{2}\end{array}\right.\]

\( x = 1 — \sqrt{2} \) ✅

\( x = 1 + \sqrt{2} \)

\( x = -1 + \sqrt{2} \)

\( x = 2 — \sqrt{2} \)

\( x = 1 \)