Запишем: \(4 = 2^2\), тогда

\[4 \cdot 4^{x^2 + 2x — 5} = 4 \cdot (2^2)^{x^2 + 2x — 5} = 4 \cdot 2^{2(x^2 + 2x — 5)}\]

Исходное неравенство примет вид:

\[4 \cdot 2^{2(x^2 + 2x — 5)} — 33 \cdot 2^{x^2 + 2x — 5} + 8 \geq 0\]

Пусть \( t = 2^{x^2 + 2x — 5} \), тогда \( t^2 = 2^{2(x^2 + 2x — 5)} \).

Подставим:

\[4t^2 — 33t + 8 \geq 0\]

Найдём корни уравнения \(4t^2 — 33t + 8 = 0\):

\[D = (-33)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 8 = 1089 — 128 = 961\]

\[t_1 = \frac{33 — 31}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \quad t_2 = \frac{33 + 31}{8} = \frac{64}{8} = 8\]

Запишем неравенство в разложенном виде:

\[(t — 8)(4t — 1) \geq 0\]

Решение методом интервалов:

\[t \leq \frac{1}{4} \quad \text{или} \quad t \geq 8\]

Вспомним, что \(t = 2^{x^2 + 2x — 5}\). Получаем совокупность:

\[\left[\begin{array}{l}2^{x^2 + 2x — 5} \leq \frac{1}{4} \\2^{x^2 + 2x — 5} \geq 8\end{array}\right.\]

Преобразуем к равносильным неравенствам:

\[\left[\begin{array}{l}x^2 + 2x — 5 \leq -2 \\x^2 + 2x — 5 \geq 3\end{array}\right.\]

\[\left[\begin{array}{l}x^2 + 2x — 3 \leq 0 \\x^2 + 2x — 8 \geq 0\end{array}\right.\]

1) \(x^2 + 2x — 3 \leq 0\)

\[D = 4 + 12 = 16, \quad x_1 = -3, \quad x_2 = 1\]

Решение: \(-3 \leq x \leq 1\)

2) \(x^2 + 2x — 8 \geq 0\)

\[D = 4 + 32 = 36, \quad x_1 = -4, \quad x_2 = 2\]

Решение: \(x \leq -4\) или \(x \geq 2\)

Объединяем промежутки:

\[x \in (-\infty; -4] \cup [-3; 1] \cup [2; +\infty)\]

\[x \in (-\infty; -4] \cup [-3; 1] \cup [2; +\infty)\]

\(x \in (-\infty; -4] \cup [-3; 1] \cup [2; +\infty)\) ✅

\(x \in (-\infty; -3] \cup [1; 2] \cup [4; +\infty)\)

\(x \in (-\infty; -4] \cup [-3; 1]\)

\(x \in [-4; -3] \cup [1; 2] \cup [4; +\infty)\)

\(x \in (-\infty; -3] \cup [2; +\infty)\)

Всё выражение можно записать через основание 3:

\[9^{4x — x^2 — 1} = 3^{2(4x — x^2 — 1)}\]

\[36 \cdot 3^{4x — x^2 — 1} = 36 \cdot 3^{4x — x^2 — 1}\]

\[243 = 3^5\]

Пусть \( t = 3^{4x — x^2 — 1} \), тогда \( t > 0 \).

\[3^{2(4x — x^2 — 1)} — 36 \cdot 3^{4x — x^2 — 1} + 3^5 = t^2 — 36t + 243\]

\[t^2 — 36t + 243 \ge 0\]

Находим корни:

\[t^2 — 36t + 243 = 0\]

\[D = (-36)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 243 = 324\]

\[t = \frac{36 \pm 18}{2} \Rightarrow t_1 = 9, \quad t_2 = 27\]

\[(t — 9)(t — 27) \ge 0\]

Решение:

\[t \le 9 \quad \text{или} \quad t \ge 27\]

\[\left[\begin{aligned}&3^{4x — x^2 — 1} \le 9 \\&3^{4x — x^2 — 1} \ge 27\end{aligned}\right.\]

Переходим к показателям:

\[\left[\begin{aligned}&4x — x^2 — 1 \le 2 \\&4x — x^2 — 1 \ge 3\end{aligned}\right.\]

Первое неравенство:

\[4x — x^2 — 1 \le 2 \implies -x^2 + 4x — 3 \le 0 \implies x^2 — 4x + 3 \ge 0\]

\[(x — 1)(x — 3) \ge 0\]

\[x \le 1 \quad \text{или} \quad x \ge 3\]

Второе неравенство:

\[4x — x^2 — 1 \ge 3 \implies -x^2 + 4x — 4 \ge 0 \implies x^2 — 4x + 4 \le 0\]

\[(x — 2)^2 \le 0 \implies x = 2\]

\[x \in (-\infty;\;1] \cup \{2\} \cup [3;\;+\infty)\]

\[\begin{array}{l}\text{A) } x \in (-\infty;\;1] \cup \{2\} \cup [3;\;+\infty) \quad \text{✅} \\\text{B) } x \in (-\infty;\;1) \cup (2;\;+\infty) \\\text{C) } x \in [1;\;2] \cup [3;\;+\infty) \\\text{D) } x \in (-\infty;\;1] \cup [3;\;+\infty) \\\text{E) } x \in (-\infty;\;2] \cup [3;\;+\infty) \\\end{array}\]

Введём замену: \( t = 3^x \), где \( t > 0 \). Тогда:

\[\dfrac{1}{3^{x-1}} = \dfrac{3}{t}, \quad\dfrac{1}{3^x} = \dfrac{1}{t}, \quad\dfrac{1}{3^{x+1}} = \dfrac{1}{3t}\]

Суммируем:

\[\dfrac{3}{t} + \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{3t} = \dfrac{3 + 1 + \dfrac{1}{3}}{t} = \dfrac{4 + \dfrac{1}{3}}{t} = \dfrac{13}{3t}\]

Подставляем в исходное неравенство:

\[\dfrac{13}{3t} < \dfrac{5}{2}\]

Умножаем обе части на \(3t\) (так как \(t > 0\), знак не меняется):

\[13 < \dfrac{15}{2} t\]

\[t > \dfrac{26}{15}\]

Вспоминаем, что \(t = 3^x\):

\[3^x > \dfrac{26}{15}\]

Переходим к логарифму:

\[x > \log_3 \left( \dfrac{26}{15} \right)\]

Используем свойства логарифмов:

\[\log_3 \left( \dfrac{1}{12} \right) = -\log_3 12\]

Ответ можно записать так:

\[x > -\log_3 12\]

\[x \in \left( -\log_3 12 ;\ +\infty \right)\]

\[\begin{array}{l}x \in \left( -\log_3 12;\ +\infty \right) \quad \text{✅} \\x \in \left( \log_3 \dfrac{26}{15};\ +\infty \right) \\x \in \left( -\log_3 15;\ +\infty \right) \\x \in \left( \log_3 12;\ +\infty \right) \\x \in \left( -\log_3 \dfrac{26}{15};\ +\infty \right) \\\end{array}\]

\[9^{x-3} = \frac{9^x}{9^3},\quad 9^{x-2} = \frac{9^x}{9^2},\quad 9^{x-1} = \frac{9^x}{9}\]

\[\frac{9^x}{9^3} — \frac{9^x}{9^2} + \frac{9^x}{9} > 511\]

\[9^x \left( \frac{1}{9^3} — \frac{1}{9^2} + \frac{1}{9} \right) > 511\]

\[\frac{1}{9^3} = \frac{1}{729},\quad \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81} = \frac{9}{729},\quad \frac{1}{9} = \frac{81}{729}\]

\[\frac{1}{729} — \frac{9}{729} + \frac{81}{729} = \frac{1 — 9 + 81}{729} = \frac{73}{729}\]

\[9^x \cdot \frac{73}{729} > 511\]

\[73 \cdot 9^x > 511 \cdot 729\]

\[9^x > \frac{511 \cdot 729}{73}\]

\(511 = 73 \cdot 7\), \(729 = 9^3\), поэтому:

\[9^x > 7 \cdot 9^3\]

\[\frac{9^x}{9^3} > 7 \implies 9^{x-3} > 7\]

\[9^{x-3} > 7 \implies x-3 > \log_9 7 \implies x > 3 + \log_9 7\]

\[x \in \left( 3 + \log_9 7\,;\;\infty \right)\]

\( x \in \left( 3 + \log_9 7\,;\;\infty \right) \) ✅

\( x \in \left[ 3 + \log_9 7\,;\;\infty \right) \)

\( x \in \left( 3 + \log_7 9\,;\;\infty \right) \)

\( x \in \left( 3 + \log_3 7\,;\;\infty \right) \)

\( x \in \left( 3 + \log_9 6\,;\;\infty \right) \)

\[\begin{array}{l}2^{2x + 4} = 2^4 \cdot 2^{2x} = 16 \cdot 2^{2x} \\16 \cdot 2^{x+3} = 16 \cdot 2^x \cdot 2^3 = 128 \cdot 2^x \\2^{x+1} = 2 \cdot 2^x \\16 = 16\end{array}\]

\[16 \cdot 2^{2x} — 128 \cdot 2^x — 2 \cdot 2^x + 16 \le 0\]

\[16 \cdot 2^{2x} — 130 \cdot 2^x + 16 \le 0\]

\[16t^2 — 130t + 16 \le 0\]

\[D = (-130)^2 — 4 \cdot 16 \cdot 16 = 16900 — 1024 = 15876\]

\[\sqrt{15876} = 126\]

\[\begin{aligned}t_1 &= \frac{130 — 126}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \\t_2 &= \frac{130 + 126}{32} = \frac{256}{32} = 8\end{aligned}\]

\[(t — \tfrac{1}{8})(t — 8) \le 0\]

\[\frac{1}{8} \le t \le 8\]

\[\frac{1}{8} \le 2^x \le 8\]

\[2^{-3} \le 2^x \le 2^3\]

\[-3 \le x \le 3\]

\[x \in [-3;\ 3]\]

\[\begin{array}{ll}\text{A.} & x \in [-3;\ 3] \quad \text{✅} \\\text{B.} & x \in (-3;\ 3) \\\text{C.} & x \in [-3;\ 8] \\\text{D.} & x \in [-8;\ 3] \\\text{E.} & x \in [-4;\ 4]\end{array}\]