beeschool — Образование нового поколения

1. Логарифмические уравнения

а) Решите уравнение

\[\log_2 \left( x^2 — 14x \right) = 5.\]

б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку

\[\left[\, \log_3 0{,}1\;;\; 5\sqrt{10}\, \right].\]

Показать ответ и решение

Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Для логарифма выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля:

\[x^2 — 14x > 0\]

Решим неравенство:

\[x(x — 14) > 0\]

Рассмотрим интервалы:

\[\left[\begin{array}{l}x < 0 \\x > 14\end{array}\right.\]

То есть, ОДЗ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (14; +\infty) $.

Шаг 2. Решим уравнение

Преобразуем логарифмическое уравнение к квадратному:

\[\log_2(x^2 — 14x) = 5 \implies x^2 — 14x = 2^5 = 32\]

Приведём к стандартному виду:

\[x^2 — 14x — 32 = 0\]

Вычислим дискриминант:

\[D = (-14)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324\]

\[\sqrt{D} = 18\]

Найдём корни:

\[x_1 = \frac{14 + 18}{2} = 16, \qquad x_2 = \frac{14 — 18}{2} = -2\]

Шаг 3. Проверка корней на ОДЗ

Проверим, входят ли найденные корни в область допустимых значений:

\[\left[\begin{array}{l}x_1 = 16 \in (14; +\infty) \\x_2 = -2 \in (-\infty; 0)\end{array}\right.\]

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Шаг 4. Отбор корней на заданном отрезке

Промежуток: $\left[ \log_3 0{,}1;\; 5\sqrt{10} \right]$

Вычислим границы:

\[\log_3 0{,}1 = \log_3 \left( \frac{1}{10} \right) = -\log_3 10 \approx -2{,}1\]

\[5\sqrt{10} \approx 5 \times 3{,}16 = 15{,}8\]

Промежуток: $[-2{,}1;\; 15{,}8]$

Проверим корни:

\[\left[\begin{array}{l}x_1 = 16 > 15{,}8 \quad \text{(не входит)} \\x_2 = -2 \in [-2{,}1;\; 15{,}8] \quad \text{(входит)}\end{array}\right.\]

Ответ:

а)

\[\left[\begin{array}{l}x = 16 \\x = -2\end{array}\right.\]

б) $ x = -2 $

\[\begin{array}{ll}\text{а)}\ x = 16,\ x = -2; & \text{б)}\ x = -2 \qquad \text{✅} \\\text{а)}\ x = 16,\ x = -2; & \text{б)}\ x = 16 \\\text{а)}\ x = 16; & \text{б)}\ x = 16 \\\text{а)}\ x = -2; & \text{б)}\ x = -2 \\\text{а)}\ x = -2,\ x = 14; & \text{б)}\ x = -2 \\\end{array}\]

2. Логарифмические уравнения

а) Решите уравнение $6\log_8^2{x} — 5\log_8{x} + 1 = 0$;

б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку $[2;\;2{,}5]$.

Показать ответ и решение

Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Для выражения $ \log_8 x $ требуется, чтобы $ x > 0 $.

\[x > 0\]

Шаг 2. Замена переменной

Пусть $ t = \log_8 x $. Тогда уравнение принимает вид:

\[6t^2 — 5t + 1 = 0\]

Шаг 3. Решение квадратного уравнения

Находим дискриминант:

\[D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1\]

Корни:

\[\left[\begin{array}{l}t_1 = \dfrac{5 + 1}{12} = \dfrac{6}{12} = 0{,}5 \\t_2 = \dfrac{5 — 1}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\end{array}\right.\]

Шаг 4. Возвращаемся к переменной $ x $

Вспоминаем замену: $ t = \log_8 x $.

\[\left[\begin{array}{l}\log_8 x = 0{,}5 \Rightarrow x = 8^{0{,}5} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \\\log_8 x = \dfrac{1}{3} \Rightarrow x = 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2\end{array}\right.\]

Шаг 5. Отбор корней на отрезке $[2;\;2{,}5]$

Проверяем, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[2;\;2{,}5]$:

$ x = 2 $ — принадлежит отрезку.

$ x = 2\sqrt{2} \approx 2{,}828 $ — не принадлежит отрезку.

Ответ:

а)

\[\left[\begin{array}{l}x = 2 \\x = 2\sqrt{2}\end{array}\right.\]

б) $ x = 2 $

а)

\[\left[\begin{array}{l}x = 2 \\x = 2\sqrt{2}\end{array}\right.\]

б)

1) $ x = 2 $ ✅

2) $ x = 2\sqrt{2} $

3) $ x = 2,5 $

4) $ x = 2;~x = 2,5 $

5) $ x = 2\sqrt{2};~x = 2,5 $

3. Логарифмические уравнения

$$\text{а)} \quad 1 + \log_2 \left(9x^2 + 5\right) = \log_{\sqrt{2}} \sqrt{8x^4 + 14}$$

$$\text{б)} \quad \text{Найдите все корни, принадлежащие промежутку } \left[ -1;\, \dfrac{8}{9} \right].$$

Показать ответ и решение

Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ)

В уравнении присутствуют логарифмы, значит, подлогарифмические выражения должны быть больше нуля:

\[\left\{\begin{array}{l}9x^2 + 5 > 0 \\8x^4 + 14 > 0\end{array}\right.\]

Оба неравенства выполняются при любых значениях $ x $, так как $ x^2 \geq 0 $ и $ x^4 \geq 0 $. Следовательно, ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Шаг 2. Преобразуем правую часть уравнения

Преобразуем логарифм с основанием $ \sqrt{2} $:

\[\log_{\sqrt{2}}\sqrt{8x^4 + 14} = \frac{\log_2 \sqrt{8x^4 + 14}}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2} \log_2 (8x^4 + 14)}{\frac{1}{2}} = \log_2 (8x^4 + 14)\]

Шаг 3. Преобразуем левую часть уравнения

$ 1 = \log_2 2 $, поэтому:

\[1 + \log_2 (9x^2 + 5) = \log_2 2 + \log_2 (9x^2 + 5) = \log_2 [2 \cdot (9x^2 + 5)] = \log_2 (18x^2 + 10)\]

Шаг 4. Составим уравнение и решим его

Уравнение принимает вид:

\[\log_2 (18x^2 + 10) = \log_2 (8x^4 + 14)\]

Так как основания и области определения совпадают, приравниваем аргументы:

\[18x^2 + 10 = 8x^4 + 14\]

\[8x^4 — 18x^2 + 4 = 0\]

Разделим на 2:

\[4x^4 — 9x^2 + 2 = 0\]

Пусть $ t = x^2 $, тогда $ t \geq 0 $:

\[4t^2 — 9t + 2 = 0\]

\[D = (-9)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49\]

\[t_1 = \frac{9 + 7}{8} = 2, \quad t_2 = \frac{9 — 7}{8} = \frac{1}{4}\]

\[x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}\]

\[x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm \frac{1}{2}\]

Ответ:

а)

\[\left[\begin{array}{lr}x = \sqrt{2} \\x = -\sqrt{2} \\x = \frac{1}{2} \\x = -\frac{1}{2}\end{array}\right.\]

б) $ x = \frac{1}{2} $, $ x = -\frac{1}{2} $

1) $ x = \frac{1}{2} $, $ x = -\frac{1}{2} $ ✅

2) $ x = 1 $, $ x = -1 $

3) $ x = \sqrt{2} $, $ x = -\sqrt{2} $

4) $ x = 0 $, $ x = 1 $

5) $ x = \frac{8}{9} $, $ x = -1 $

4. Логарифмические уравнения

а) Решите уравнение

\[\log_2^2\left( x^2 \right) — 16 \log_2\left( 2x \right) + 31 = 0.\]

б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку $[3;\,6]$.

Показать ответ и решение

Шаг 1. ОДЗ

Логарифмы определены только при положительных аргументах:

\[\left\{\begin{array}{l}x^2 > 0 \\2x > 0\end{array}\right.\Longleftrightarrowx > 0\]

Шаг 2. Преобразуем уравнение

Преобразуем исходное уравнение, используя свойства логарифмов:

\[\log_2^2(x^2) — 16\log_2(2x) + 31 = 0\]

Заметим, что $\log_2^2(x^2) = (2\log_2(x))^2 = 4(\log_2(x))^2$, а $\log_2(2x) = 1 + \log_2(x)$.

\[4(\log_2(x))^2 — 16(1 + \log_2(x)) + 31 = 0\]

Раскрываем скобки и приводим подобные:

\[4(\log_2(x))^2 — 16\log_2(x) + 15 = 0\]

Шаг 3. Замена переменной

Пусть $ t = \log_2(x) $. Тогда уравнение:

\[4t^2 — 16t + 15 = 0\]

Вычисляем дискриминант:

\[D = (-16)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 — 240 = 16\]

Находим корни:

\[t_1 = \frac{16 — 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \quadt_2 = \frac{16 + 4}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}\]

То есть:

\[\left[\begin{array}{l}t = \frac{3}{2} \\t = \frac{5}{2}\end{array}\right.\]

Шаг 4. Возвращаемся к x

Восстанавливаем $ x $ по определению логарифма:

\[\left[\begin{array}{l}\log_2(x) = \frac{3}{2} \Rightarrow x = 2^{3/2} = 2\sqrt{2} \\\log_2(x) = \frac{5}{2} \Rightarrow x = 2^{5/2} = 4\sqrt{2}\end{array}\right.\]

Шаг 5. Отбор корней на отрезке [3; 6]

Проверяем, какие из корней лежат в отрезке $[3; 6]$:

\[2\sqrt{2} \approx 2.83 \notin [3; 6] \\4\sqrt{2} \approx 5.66 \in [3; 6]\]

Значит, только $ x = 4\sqrt{2} $ подходит.

Ответ:

а)

\[\left[\begin{array}{l}x = 2\sqrt{2} \\x = 4\sqrt{2}\end{array}\right.\]

б) $ x = 4\sqrt{2} $

\[\begin{array}{ll}\text{а)} & \left[\begin{array}{l}x = 2\sqrt{2} \\x = 4\sqrt{2}\end{array}\right. \\\text{б)} & x = 4\sqrt{2}\end{array}\]

а) $ x = 2 $, $ x = 4 $;
б) $ x = 4 $

а) $ x = 2\sqrt{2} $, $ x = 4\sqrt{2} $;
б) $ x = 2\sqrt{2} $

а) $ x = 2\sqrt{2} $, $ x = 4\sqrt{2} $;
б) $ x = 4\sqrt{2} $ ✅

а) $ x = 2 $, $ x = 4\sqrt{2} $;
б) $ x = 2\sqrt{2} $

а) $ x = 2\sqrt{2} $, $ x = 3\sqrt{2} $;
б) $ x = 4\sqrt{2} $

5. Логарифмические уравнения

\[\text{а)} \quad {\lg^2}(10x) + \lg(10x) = 6 — 3\lg\left(\dfrac{1}{x}\right)\]

\[\text{б)} \quad \text{Найдите все корни, принадлежащие промежутку}\ \left[{\log_3}\dfrac{1}{2};\ {\log_3}{2^{100}}\right].\]

Показать ответ и решение

Шаг 1. ОДЗ

Аргументы логарифмов положительны: $10x > 0$, $\dfrac{1}{x} > 0$. Значит, $x > 0$.

Шаг 2. Преобразуем уравнение

\[\lg^2(10x) + \lg(10x) = 6 — 3\lg\left(\dfrac{1}{x}\right)\]

Используем: $\lg \left( \dfrac{1}{x} \right) = -\lg x$:

\[\lg^2(10x) + \lg(10x) = 6 + 3\lg x\]

Шаг 3. Упрощаем логарифмы

\[\lg(10x) = 1 + \lg x\]

\[\lg^2(10x) = (1 + \lg x)^2 = \lg^2 x + 2\lg x + 1\]

Шаг 4. Приводим подобные

\[(\lg^2 x + 2\lg x + 1) + (1 + \lg x) = 6 + 3\lg x\]

\[\lg^2 x + 3\lg x + 2 = 6 + 3\lg x\]

\[\lg^2 x + 3\lg x + 2 — 6 — 3\lg x = 0\]

\[\lg^2 x — 4 = 0\]

Шаг 5. Решаем квадратное уравнение

\[\lg^2 x — 4 = 0\]

\[\left[\begin{array}{l}\lg x = 2 \\\lg x = -2\end{array}\right.\]

\[\left[\begin{array}{l}x = 10^2 = 100 \\x = 10^{-2} = \dfrac{1}{100}\end{array}\right.\]

Оба значения удовлетворяют ОДЗ: $x > 0$.

Шаг 6. Отбор корней по отрезку

Промежуток: $\left[ \log_3 \dfrac{1}{2} \;;\; \log_3 \left(2^{100}\right) \right]$

\[\log_3 \dfrac{1}{2} = -\log_3 2 \approx -0.63\]

\[\log_3 \left(2^{100}\right) = 100\log_3 2 \approx 63\]

Отрезок: $[-0.63\,;\,63]$

Проверяем корни:

$x = \dfrac{1}{100} = 0.01$ — попадает на отрезок.

$x = 100$ — больше 63, не подходит.

Ответ:

а)

\[\left[\begin{array}{lr}x = 100 \\x = \dfrac{1}{100}\end{array}\right.\]

б) $ x = \dfrac{1}{100} $

а)

\[\left[\begin{array}{lr}x = 100 \\x = \dfrac{1}{100}\end{array}\right.\]

б) $ x = \dfrac{1}{100} $

а) $ x = 100 $, б) $ x = 100 $

а) $ x = \dfrac{1}{100} $, б) $ x = 100 $

а) $ x = 10 $, $ x = \dfrac{1}{10} $, б) $ x = 10 $

✅ а) $ x = 100 $, $ x = \dfrac{1}{100} $, б) $ x = \dfrac{1}{100} $

а) $ x = 100 $, $ x = \dfrac{1}{100} $, б) $ x = 100 $