\( — 9 < {x^4} — 10{x^2} \le 56 \)   1) Разобьём неравенство на две части 
\( \left\{ \begin{array}{l} {x^4} — 10{x^2} > — 9, \\ {x^4} — 10{x^2} \le 56. \end{array} \right. \)
 
2) Подставим \( x^2 = t \), \( t \geq 0 \) 
\( \left\{ \begin{array}{l} t^2 — 10t + 9 > 0, \\ t^2 — 10t — 56 \le 0. \end{array} \right. \)
 
3) Найдём корни первого неравенства 
\( t^2 — 10t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \, \text{и} \, t = 9 \)
 
4) Преобразуем его 
\( t^2 — 10t + 9 = \left( t — 9 \right)\left( t — 1 \right) \)
 
5) Найдём корни второго неравенства 
\( t^2 — 10t — 56 = 0 \Leftrightarrow t = 14 \, \text{и} \, t = -4 \)
 
6) Преобразуем его 
\( t^2 — 10t — 56 = \left( t — 14 \right)\left( t + 4 \right) \)
 
7) Изучим неравенства 
\( \left\{ \begin{array}{l} (t — 9)(t — 1) > 0, \\ (t — 14)(t + 4) \leq 0. \end{array} \right. \)
 
8) Разберём первое неравенство 
\( \left( t — 9 \right)(t — 1) > 0 \Leftrightarrow t < 1 \, \text{или} \, t > 9 \)
 
9) Перейдём ко второй переменной 
\( \left[ \begin{array}{l} x^2 < 1, \\ x^2 > 9 \end{array} \right. \)
 
10) Получим промежутки 
\( \left[ \begin{array}{l} -1 < x < 1, \\ x < -3 \, \text{или} \, x > 3 \end{array} \right. \)
 
11) Соединяем разрывы 
\( x \in \left( -\infty, -3 \right) \cup \left( -1, 1 \right) \cup \left( 3, \infty \right) \)
 
12) Изучим второе неравенство 
\( (t — 14)(t + 4) \leq 0 \Leftrightarrow -4 \leq t \leq 14 \)
 
13) Вернёмся к переменной \( x^2 \) 
\(-4 \leq x^2 \leq 14 \Leftrightarrow x^2 \leq 14\)
 
14) Возьмём корень из 14 
\( x \in \left[ -\sqrt{14}, \sqrt{14} \right] \)
 
15) Объединим оба решения 
Таким образом,
\( x \in \left[ -\sqrt{14}, -3 \right) \cup \left( -1, 1 \right) \cup \left( 3, \sqrt{14} \right] \)
 

\( x \in \left[ -\sqrt{14}, -3 \right) \cup \left( -1, 1 \right) \cup \left( 3, \sqrt{14} \right] \)

\(3 < \dfrac{7{x^2} - 5x + 7}{{x^2} + 1} < 6\)   1) Приведём к системе неравенств 
\(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{7{x^2} — 5x + 7}{{x^2} + 1} > 3, \\ \dfrac{7{x^2} — 5x + 7}{{x^2} + 1} < 6 \end{array} \right.\)   2) Упростим первое неравенство 
\(\dfrac{7{x^2} — 5x + 7 — 3{x^2} — 3}{{x^2} + 1} > 0 \Rightarrow \dfrac{4{x^2} — 5x + 4}{{x^2} + 1} > 0\)
 
3) Упростим второе неравенство 
\(\dfrac{7{x^2} — 5x + 7 — 6{x^2} — 6}{{x^2} + 1} < 0 \Rightarrow \dfrac{{x^2} - 5x + 1}{{x^2} + 1} < 0\)   4) Так как дискриминант квадратного трёхчлена \(4{x^2} — 5x + 4\) меньше нуля, то \(4{x^2} — 5x + 4 > 0\). Можно записать неравенство: 
\(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{4{x^2} — 5x + 4}{{x^2} + 1} > 0, \\ \dfrac{{x^2} — 5x + 1}{{x^2} + 1} < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 1 < 0\)   5) Решим полученное неравенство методом интервалов 
\({x^2} — 5x + 1 < 0 \Leftrightarrow \left( {x - \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}} \right)\left( {x - \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}} \right) < 0\)   6) Найденное решение получается следующим образом: 
\(x \in \left( \dfrac{5 — \sqrt{21}}{2}; \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2} \right)\)
 

\(x \in \left( \dfrac{5 — \sqrt{21}}{2}; \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2} \right)\)

\( \dfrac{{{x^2} — 2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x — 3} \right)}^2}}} \le \dfrac{{{{\left( {2{x^2} — x + 5} \right)}^2}}}{{2{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x — 3} \right)}^2}}} \)

1) Исходное неравенство можно переписать в виде:
\(\Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {x — 1} \right)}^2}{{\left( {x — 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x — 3} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x — 3} \right)}^2}} \le \dfrac{{{{\left( {2{x^2} — x + 5} \right)}^2}}}{{2{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x — 3} \right)}^2}}}\)

2) Упростим дроби:
\(\Leftrightarrow \;\;\;\dfrac{{2{{\left( {{x^2} — 4x + 3} \right)}^2} + 2{{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)}^2} — {{\left( {2{x^2} — x + 5} \right)}^2}}}{{2{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x — 3} \right)}^2}}} \le 0\)

3) Обозначим:
\(a = {x^2} — 4x + 3,\;\;\; b = {x^2} + 3x + 2\)
Тогда: \(a + b = {x^2} — 4x + 3 + {x^2} + 3x + 2 = 2{x^2} — x + 5\)

4) Подставим \(a\) и \(b\) в свободный член:
\(2{\left( {{x^2} — 4x + 3} \right)^2} + 2{\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} — {\left( {2{x^2} — x + 5} \right)^2} = (a — b)^2\)
\(\Leftrightarrow \;\;\; {\left( {7x — 1} \right)}^2\)

5) Таким образом, неравенство принимает вид:
\(\dfrac{{{{\left( {7x — 1} \right)}^2}}}{{2{{\left( {x + 2} \right)}^2}{{\left( {x — 3} \right)}^2}}} \le 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{7}\)

\( \dfrac{1}{7} \)