Решите неравенство \(\dfrac{1}{{x + 5}} + \dfrac{1}{{x — 7}} + \dfrac{1}{{x — 5}} + \dfrac{1}{{x + 7}} > 0\).

 1) Перепишем неравенство, объединив дроби:  \(\dfrac{1}{{x + 5}} + \dfrac{1}{{x — 5}} + \dfrac{1}{{x + 7}} + \dfrac{1}{{x — 7}} > 0\)
 2) Упростим, объединив дроби:  \(\dfrac{{x — 5 + x + 5}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x — 5} \right)}} + \dfrac{{x — 7 + x + 7}}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x — 7} \right)}} > 0\)
 3) Это можно упростить до:  \(\dfrac{{2x}}{{x^2 — 25}} + \dfrac{{2x}}{{x^2 — 49}} > 0\)
 4) Приведём к общему знаменателю:  \(\dfrac{{2x\left( {x^2 — 49} \right) + 2x\left( {x^2 — 25} \right)}}{{\left( {x^2 — 25} \right)\left( {x^2 — 49} \right)}} > 0\)
 5) Упростим дальше:  \(\dfrac{{2x\left( {x^2 — 49 + x^2 — 25} \right)}}{{\left( {x^2 — 25} \right)\left( {x^2 — 49} \right)}} > 0\)
 6) Это даёт:  \(\dfrac{{4x\left( {x^2 — 37} \right)}}{{\left( {x^2 — 25} \right)\left( {x^2 — 49} \right)}} > 0\)
 7) Заметим, что можем разложить в следующем виде:  \(\dfrac{{4x\left( {{\left( x \right)}^2 — {\left( {\sqrt {37} } \right)}^2} \right)}}{{\left( {x — 5} \right)\left( {x — 7} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} > 0\)
 8) В итоге получаем:  \(\dfrac{{4x\left( {x — \sqrt {37} } \right)\left( {x + \sqrt {37} } \right)}}{{\left( {x — 5} \right)\left( {x — 7} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} > 0\).

Ответ: \(x \in \left( { — 7; — \sqrt {37} } \right) \cup \left( { — 5; 0 } \right) \cup \left( { 5; \sqrt {37} } \right) \cup \left( { 7; \infty } \right).\)

\(\dfrac{{{x^2} + 3x + 4}}{{{x^2} + 4x + 3}} \ge x\)

 
1) Перепишем неравенство 
\(\dfrac{{x^2 + 3x + 4}}{{x^2 + 4x + 3}} \ge x\)
 
2) Приведём к общему знаменателю 
\(\dfrac{{x^2 + 3x + 4 — x(x^2 + 4x + 3)}}{{x^2 + 4x + 3}} \ge 0\)
 
3) Упростим числитель 
\(\dfrac{{x^2 + 3x + 4 — x^3 — 4x^2 — 3x}}{{x^2 + 4x + 3}} \ge 0\)
 
4) Получим итоговое неравенство 
\(\dfrac{{-x^3 — 3x^2 + 4}}{{x^2 + 4x + 3}} \ge 0\)
 
 
5) Изменим знак неравенства 
\(\dfrac{{x^3 + 3x^2 — 4}}{{x^2 + 4x + 3}} \le 0\)
 
6) Найдём корни числителя 
\(x^3 + 3x^2 — 4 = 0\)
 
7) Подберем целые корни 
\(x = 1\)
 
8) Разделим многочлен на \(x — 1\) 
\(x^3 + 3x^2 — 4 = (x — 1)(x^2 + 4x + 4)\)

 
9) Найдём нули этого многочлена 
\((x — 1)(x + 2)^2 = 0\)
 
10) Найдём нули знаменателя 
\(x^2 + 4x + 3 = 0\)
 
11) Решим \(x^2 + 4x + 3 = 0\) 
\(x = -1,\, x = -3\)
 
12) Теперь находим интервалы 

\(x \in \left( -\infty; -3 \right) \cup \left\{ -2 \right\} \cup \left( -1; 1 \right]\)

\(x \in \left( -\infty; -3 \right) \cup \left\{ -2 \right\} \cup \left( -1; 1 \right]\)

Решите неравенство \({\left( {{x^2} — x} \right)^2} — 8\left( {{x^2} — x} \right) + 12 \ge 0\).
1) Пусть \(x^2 — x = t\). Тогда неравенство примет вид:
\(\)
 
2) Упростим неравенство:
\(\Leftrightarrow (t — 2)(t — 6) \ge 0\)
 
3) Применим метод интервалов:
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t \le 2, \\ t \ge 6. \end{array} \right.\)
 
4) Вернёмся к прежней переменной:
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^2 — x \le 2, \\ x^2 — x \ge 6. \end{array} \right.\)
 
5) Упростим каждое неравенство:
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^2 — x — 2 \le 0, \\ x^2 — x — 6 \ge 0. \end{array} \right.\)
 
6) Разложим на множители:
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} (x + 1)(x — 2) \le 0, \\ (x — 3)(x + 2) \ge 0. \end{array} \right.\)
 
7) Применим метод интервалов для каждого из неравенств:
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} -1 \le x \le 2,\\ x \le -2, \\ x \ge 3. \end{array} \right.\)
 
Таким образом, решением исходного неравенства является:
\(x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 2] \cup [3; \infty).\)

\(x \in (-\infty; -2] \cup [-1; 2] \cup [3; \infty).\)

Решите неравенство \({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} < \dfrac{{60}}{{{x^2} + 2x + 3}}\)  Преобразуем неравенство:
\({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} < \dfrac{{60}}{{{x^2} + 2x + 3}}\)    1) Раскроем скобки и упрощаем:
\(x^2 + (x^2 + 4x + 4) < \dfrac{60}{{x^2 + 2x + 3}}\)    2) Объединим подобные члены:
\(2x^2 + 4x + 4 < \dfrac{60}{{x^2 + 2x + 3}}\)    3) Умножим обе стороны на \({x^2} + 2x + 3\) (положительное выражение):
\((2x^2 + 4x + 4)(x^2 + 2x + 3) < 60\)    4) Перепишем неравенство:
\(2\left( {{x^2} + 2x} \right) + 4 < \dfrac{{60}}{{{x^2} + 2x + 3}} \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} + 5t - 24}}{{t + 3}} < 0\), где \({t = x^2 + 2x}\)    5) Решим квадратное уравнение:
\({t^2} + 5t — 24 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = 3 \\ t = -8 \end{array} \right.\)
 
 6) Найдем знаки выражения методом интервалов:
\(\dfrac{{(t — 3)(t + 8)}}{{t + 3}} < 0\)  
 7) Получаем решение неравенства:
\(-3 < t < 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + 2x + 3 > 0 \\ x^2 + 2x — 3 < 0 \end{array} \right.\)    8) Решая полученные неравенства, находим:
\(x \in (-3; 1)\)
 

\(x \in (-3; 1)\)

Решите неравенство \(x^3 — \frac{1}{x^3} \ge 4\left( x — \frac{1}{x} \right)\)
 
1) Перепишем неравенство 
\((x^3 — \frac{1}{x^3}) — 4\left( x — \frac{1}{x} \right) \ge 0\)

 
2) Преобразуем левую часть 
\((x — \frac{1}{x})\left( x^2 + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) \ge 4\left( x — \frac{1}{x} \right)\)

 
3) Упростим неравенство 
\(\left( x — \frac{1}{x} \right)\left( x^2 — 3 + \frac{1}{x^2} \right) \ge 0\)

 
4) Разложим на множители 
\(\left( \frac{x^2 — 1}{x} \right)\left( \frac{x^4 — 3x^2 + 1}{x^2} \right) \ge 0\)

 
5) Найдём корни 
\(x^4 — 3x^2 + 1 = 0\) — дискриминант \(D = 9 — 4 = 5\)

 
6) Находим корни уравнения 
\(x^2 = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)

 
7) Извлечение корней даёт 
\(x = \pm \frac{\sqrt{5} — 1}{2}, \pm \frac{\sqrt{5} + 1}{2}\)

 
8) Перепишем неравенство 
\(\frac{(x — 1)(x + 1)(x — \frac{-1 — \sqrt{5}}{2})(x — \frac{1 — \sqrt{5}}{2})(x — \frac{\sqrt{5} — 1}{2})(x — \frac{1 + \sqrt{5}}{2})}{x^3} \ge 0\)

 
9) Применим метод интервалов 

\(x \in \left[ \frac{-1 — \sqrt{5}}{2}; -1 \right] \cup \left[ \frac{1 — \sqrt{5}}{2}; 0 \right) \cup \left[ \frac{\sqrt{5} — 1}{2}; 1 \right] \cup \left[ \frac{\sqrt{5} + 1}{2}; \infty \right)\)

\( \frac{4}{{{x^2} — x}} \ge {x^2} — x \)
 
1) Подставим \( {x^2} — x = t \) 
\( \frac{4}{t} \ge t \)
 
2) Преобразуем неравенство 
\( \frac{{t^2} — 4}{t} \le 0 \)
 
3) Разложим на множители 
\( \frac{{(t — 2)(t + 2)}}{t} \le 0 \)
 
4) Применим метод интервалов 
\( \left[ {\begin{array}{l} t \le -2 \\ 0 < t \le 2 \end{array}} \right. \)   5) Перепишем в терминах \( x \) 
\( \left[ {\begin{array}{l} {x^2} — x \le -2 \\ 0 < {x^2} - x \le 2 \end{array}} \right. \)   6) Объединим условия 
\( \left[ {\begin{array}{l} {x^2} — x + 2 \le 0 \\ {x^2} — x > 0 \\ {x^2} — x \le 2 \end{array}} \right. \)
 
7) Рассмотрим каждое неравенство 
\( \left\{ {\begin{array}{l} x(x — 1) > 0 \\ (x + 1)(x — 2) \le 0 \end{array}} \right. \)
 
8) Найдём общее решение системы 
\( x \in \left( -\infty; 0 \right) \cup \left( 1; \infty \right) \)
 
9) Объединяем с оставшимся условием 
\( x \in \left[ -1; 2 \right] \)
 

\( x \in \left[ -1; 0 \right) \cup \left( 1; 2 \right] \)

\( {x^2} — 6x + \dfrac{{17}}{{{x^2} — 6x + 8}} < 0 \)   Пусть \( {x^2} — 6x = t \):
 
\(\Rightarrow t + \dfrac{{17}}{{t + 8}} < 0\)   1) Умножаем обе части на \( t + 8 \) (при условии, что \( t + 8 > 0 \)):
 
\(\Rightarrow t^2 + 8t + 17 < 0\)   2) Находим дискриминант квадратного трёхчлена \( t^2 + 8t + 17 \):
 
\(\Delta = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 17 = 64 — 68 < 0\)   3) Делаем вывод, что \( t^2 + 8t + 17 > 0 \) при \( t \in \mathbb{R} \).
 
4) Следовательно, \( \dfrac{{t^2 + 8t + 17}}{{t + 8}} < 0 \) при условии \( t + 8 < 0 \):
 
\(\Rightarrow {x^2} — 6x + 8 < 0\)   5) Решим неравенство \( {x^2} — 6x + 8 = 0 \):
 
\(\Rightarrow (x — 4)(x — 2) = 0\)
 
6) Применим метод интервалов:
 
\(\Rightarrow (x — 4)(x — 2) < 0\)  

\( x \in (2; 4) \)

Решите неравенство \({\left( {{x^2} + 4x + 10} \right)^2} — 7\left( {{x^2} + 4x + 11} \right) + 7 < 0\).

 Пусть \(x^2 + 4x + 10 = t\):

 1) Приведём неравенство к виду \({t^2} — 7\left( {t + 1} \right) + 7 < 0\)

 2) Упростим \({t^2} — 7t < 0\)

 3) Разложим на множители  \(t\left( {t — 7} \right) < 0\).

 Вернёмся к прежней переменной: \(\left( {{x^2} + 4x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4x + 3} \right) < 0\).

 4) Заметим, что дискриминант квадратного трёхчлена \({x^2} + 4x + 10\) меньше нуля, следовательно, \({x^2} + 4x + 10 > 0\) при \(x \in \mathbb{R}\).

 Тогда: \(\left( {{x^2} + 4x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4x + 3} \right) < 0\) эквивалентно \({x^2} + 4x + 3 < 0\).

 1) Решим уравнение \({x^2} + 4x + 3 = 0\)  и найдём корни: \(\left[ {\begin{array}{l} {x = -1,} \\ {x = -3.} \end{array}} \right.\)

 2) Определим знак выражения:  \({x^2} + 4x + 3 < 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) < 0.\)

 3) Применим метод интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — 3; — 1} \right).\)

Ответ: \(\left( { — 3; — 1} \right).\)

Решите неравенство
\[
\dfrac{1}{{{x^2} — 4}} + \dfrac{4}{{2{x^2} + 7x + 6}} \le \dfrac{1}{{2x + 3}} + \dfrac{4}{{2{x^3} + 3{x^2} — 8x — 12}}
\]

 
1) Применим разложение на множители для \(2{x^2} + 7x + 6\):
\[
2{x^2} + 7x + 6 = 0 \;\Leftrightarrow\; x = -\dfrac{3}{2}, x = -2.
\]
 
2) Таким образом,
\[
2{x^2} + 7x + 6 = 2\left( {x + \frac{3}{2}} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right).
\]
 
3) Решим кубическое уравнение \(2{x^3} + 3{x^2} — 8x — 12\) с помощью разложения:
\[
2{x^3} + 3{x^2} — 8x — 12 = {x^2}\left( {2x + 3} \right) — 4\left( {2x + 3} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} — 4} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right).
\]
 
4) Перепишем неравенство в новой форме:
\[
\dfrac{1}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{4}{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} — \dfrac{1}{{2x + 3}} — \dfrac{4}{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \le 0.
\]
 
5) Упростим дробь:
\[
\dfrac{2x + 3 + 4\left( {x — 2} \right) — \left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right) — 4}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \le 0.
\]
 
6) Объединим числитель:
\[
\dfrac{{- {x^2} + 6x — 5}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \le 0 \;\Leftrightarrow\; \dfrac{{{x^2} — 6x + 5}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \ge 0.
\]
 
7) Найдем корни квадратного уравнения:
\({x^2} — 6x + 5 = 0 \;\Leftrightarrow\; x = 1, x = 5.\)
 
8) Записываем все найденные корни:
\[
\dfrac{{\left( {x — 5} \right)\left( {x — 1} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \ge 0.
\]
 
9) Применим метод интервалов для нахождения решения:
Решением исходного неравенства является:
\[
x \in \left( { — 2; — \dfrac{3}{2}} \right) \cup \left[ {1; 2} \right) \cup \left[ {5; \infty} \right).
\]

\[
x \in \left( { — 2; — \dfrac{3}{2}} \right) \cup \left[ {1; 2} \right) \cup \left[ {5; \infty} \right).
\]

Решите неравенство \( — \dfrac{2}{{x + 2}} < \dfrac{1}{{x - 1}} \le — \dfrac{1}{{2x}} \)   Неравенство можно разделить на два:
\(\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{x — 1}} \le — \dfrac{1}{{2x}}, \\
\dfrac{1}{{x — 1}} > — \dfrac{2}{{x + 2}}
\end{array}
\right.\)
 
1) Рассмотрим первое неравенство:
\(\dfrac{1}{{x — 1}} \le — \dfrac{1}{{2x}} \)
 
2) Умножим обе части на \(-2x(x — 1)\) (изменив направление неравенства):
\(\dfrac{2x + x — 1}{2x(x — 1)} \le 0\)
 
3) Упростим выражение:
\(\dfrac{3x — 1}{2x(x — 1)} \le 0\)
 
4) Применим метод интервалов и решим:
\(x \in (-\infty; 0) \cup \left[\dfrac{1}{3}; 1\right)\)
 
5) Рассмотрим второе неравенство:
\(\dfrac{1}{{x — 1}} > — \dfrac{2}{{x + 2}}\)
 
6) Умножим на \((x — 1)(x + 2)\) (так как оба выражения положительны на рассматриваемом интервале):
\(\dfrac{x + 2 + 2x — 2}{(x — 1)(x + 2)} > 0\)
 
7) Упростим:
\(\dfrac{3x}{(x — 1)(x + 2)} > 0\)
 
8) Применим метод интервалов:
\(x \in (-2; 0) \cup (1; \infty)\)
 
9) Объединяем оба решения:
\(x \in (-2; 0)\)
 

\(x \in (-2; 0)\)