\(\frac{x}{{2{x^2} + 12}} \le \left( \frac{1}{5} \right){x^{ — 1}}\)
 
 
1) Перепишем неравенство в более удобной форме: 
\(\frac{x}{{2{x^2} + 12}} \le \frac{1}{{5x}}\)
 
2) Объединим дроби: 
\(\frac{x}{{2{x^2} + 12}} — \frac{1}{{5x}} \le 0\)
 
3) Приведем к общему знаменателю: 
\(\frac{{5{x^2} — 2{x^2} — 12}}{{5x(2{x^2} + 12)}} \le 0\)
 
4) Упростим дробь: 
\(\frac{{3{x^2} — 12}}{{5x(2{x^2} + 12)}} \le 0\)
 
5) Разложим на множители: 
\(\frac{{3\left( {x^2 — 2^2} \right)}}{{10x\left( {x^2 + 6} \right)}} \le 0\)
 
6) Параметризуем результат: 
\(\frac{{(x — 2)(x + 2)}}{{x\left( {x^2 + 6} \right)}} \le 0\)
 
7) Применим метод интервалов для нахождения решения:


Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in (-\infty; -2] \cup (0; 2]\)
 

\(x \in (-\infty; -2] \cup (0; 2]\)

\(\dfrac{{2 — \left( {x — 6} \right)^{-1}}}{{5\left( {x — 6} \right)^{-1} — 1}} \le -0,2\)
 
1) Приведём дроби к общему знаменателю 
\(\dfrac{{2 — \dfrac{1}{{x — 6}}}}{{\dfrac{5}{{x — 6}} — 1}} + \dfrac{1}{5} \le 0\)

 
2) Упростим выражение 
\(\dfrac{{2x — 12 — 1}}{{x — 6}} \le \dfrac{5 — x + 6}{5\left( {11 — x} \right)}\)

 
3) Упростим неравенство 
\(\dfrac{{2x — 13}}{{11 — x}} + \dfrac{1}{5} \le 0\)

 
4) Применим метод интервалов 
\(\dfrac{{10x — 65 + 11 — x}}{{5\left( {11 — x} \right)}} \le 0\)

 
5) Далее, находим общее решение неравенства 
\(x \in \left( -\infty; 6 \right) \cup \left( 11; \infty \right)\)

\(x \in \left( -\infty; 6 \right) \cup \left( 11; \infty \right)\)

 
\(\dfrac{{4{x^4} — 4{x^3} + {x^2}}}{{ — 2{x^2} + 5x — 2}} + \dfrac{{2{x^3} — 7{x^2} + 5x + 1}}{{x — 2}} \le 0\)
 
 
1) Приведём к общему знаменателю: 
\(\dfrac{{2{x^3} — 7{x^2} + 5x + 1}}{{x — 2}} — \dfrac{{{x^2}\left( {4{x^2} — 4x + 1} \right)}}{{2{x^2} — 5x + 2}} \le 0\)
 
2) Найдём нули знаменателя: 
\(2{x^2} — 5x + 2 = 0 \;\Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{l}{x = \dfrac{1}{2},}\\{x = 2.}\end{array}} \right.\)
 
3) Факторизуем знаменатель: 
\(2{x^2} — 5x + 2 = 2\left( {x — \dfrac{1}{2}} \right)\left( {x — 2} \right)\)
 
4) Приведём дроби к общему знаменателю: 
\(\dfrac{{2{x^3} — 7{x^2} + 5x + 1}}{{x — 2}} — \dfrac{{{x^2}\left( {2x — 1} \right)}}{{x — 2}} \le 0\)
 
5) Упростим дробь: 
\(\dfrac{{2{x^3} — 7{x^2} + 5x + 1 — 2{x^3} + {x^2}}}{{x — 2}} \le 0\)
 
6) Получим: 
\(\dfrac{{ — 6{x^2} + 5x + 1}}{{x — 2}} \le 0\)
 
7) Умножим обе части неравенства на \(-1\) и поменяем знак: 
\(\dfrac{{6{x^2} — 5x — 1}}{{x — 2}} \ge 0\)
 
8) Найдём нули числителя: 
\(6{x^2} — 5x — 1 = 0 \;\Leftrightarrow \;\left[ {\begin{array}{l}{x = 1,}\\{x = -\dfrac{1}{6}.}\end{array}} \right.\)
 
9) Факторизуем: 
\(6{x^2} — 5x — 1 = 6\left( {x — 1} \right)\left( {x + \dfrac{1}{6}} \right)\)
 
10) Рассмотрим промежутки: 
\(\dfrac{{\left( {x — 1} \right)\left( {6x + 1} \right)}}{{x — 2}} \ge 0\)
 

\(x \in \left[ { — \dfrac{1}{6};\dfrac{1}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{2};1} \right] \cup \left( {2;\infty } \right)\)

 
\(\dfrac{{{x^4} — 5{x^3} + 3x — 25}}{{{x^2} — 5x}} \ge {x^2} — \dfrac{1}{{x — 4}} + \dfrac{5}{x}\)
 
1) Приведём дроби к общему знаменателю 
\(\dfrac{{{x^4} — 5{x^3} + 3x — 25}}{{{x^2} — 5x}} — {x^2} \ge — \dfrac{1}{{x — 4}} + \dfrac{5}{x}\)

 
2) Упростим левую часть 
\(\dfrac{{{x^4} — 5{x^3} + 3x — 25 — {x^4} + 5{x^3}}}{{{x^2} — 5x}} + \dfrac{1}{{x — 4}} \ge \dfrac{5}{x}\)

 
3) Объединим дроби 
\(\dfrac{{3x — 25}}{{x\left( {x — 5} \right)}} + \dfrac{1}{{x — 4}} — \dfrac{5}{x} \ge 0\)

 
4) Приведём к общему знаменателю 
\(\dfrac{{\left( {3x — 25} \right)\left( {x — 4} \right) + x\left( {x — 5} \right) — 5\left( {x — 4} \right)\left( {x — 5} \right)}}{{x\left( {x — 5} \right)\left( {x — 4} \right)}} \ge 0\)

 
5) Упростим числитель 
\(\dfrac{{ — {x^2} + 3x}}{{x\left( {x — 5} \right)\left( {x — 4} \right)}} \ge 0\)

 
6) Приведём к стандартному виду 
\(\dfrac{{x\left( {x — 3} \right)}}{{x\left( {x — 5} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0\)

 
7) Применим метод интервалов 
\(\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{x — 3}}{{\left( {x — 5} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0, \\ x \ne 0. \end{array} \right.\)

 
8) Найдём значения, при которых дробь равна нулю 

Таким образом, решением исходного неравенства является:

\(x \in \left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {0;3} \right] \cup \left( {4;5} \right)\)

Решите неравенство \(\dfrac{{{x^2} — 16x + 39}}{{{x^2} — 12x + 27}} \le \dfrac{{x — 18}}{{x — 9}} + \dfrac{4}{{x — 8}}\).

 1) Найдём нули для знаменателя: \(x^2 — 12x + 27 = 0\) дает \(x = 3,\; x = 9\).

 2) Запишем разложение: \(x^2 — 12x + 27 = (x — 3)(x — 9)\).

 3) Найдём нули для числителя: \(x^2 — 16x + 39 = 0\) даёт \(x = 3,\; x = 13\).

 4) Запишем разложение: \(x^2 — 16x + 39 = (x — 3)(x — 13)\).

 5) Перепишем неравенство: 
\(\dfrac{{(x-3)(x-13)}}{{(x-3)(x-9)}} — \dfrac{{x-18}}{{x-9}} — \dfrac{4}{{x-8}} \le 0\)

 6) Упростим дробь: 
\(\dfrac{{x-13}}{{x-9}} — \dfrac{{x-18}}{{x-9}} — \dfrac{4}{{x-8}} \le 0\)

 7) Объединим дроби: 
\(\dfrac{{5}}{{x-9}} — \dfrac{4}{{x-8}} \le 0\)

 8) Упростим выражение: 
\(\dfrac{{5x — 40 — 4x + 36}}{{(x-9)(x-8)}} \le 0\)

 9) Объединим термины в числителе: 
\(\dfrac{{x — 4}}{{(x-9)(x-8)}} \le 0\)

 10) Применим метод интервалов: 

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( -\infty, 3 \right) \cup \left( 3, 4 \right] \cup \left( 8, 9 \right)\).

Ответ: \(x \in \left( -\infty, 3 \right) \cup \left( 3, 4 \right] \cup \left( 8, 9 \right)\).

\[
\frac{6}{{x\sqrt{3} — 3}} + \frac{{x\sqrt{3} — 6}}{{x\sqrt{3} — 9}} \ge 2
\]
 
1) Пусть \(x\sqrt{3} = t\). Тогда неравенство примет вид: 
\[
\frac{6}{{t — 3}} + \frac{{t — 6}}{{t — 9}} \ge 2
\]
 
2) Упростим: 
\[
\frac{{6t — 54 + t^2 — 6t — 3t + 18 — 2t^2 + 18t + 6t — 54}}{{(t — 3)(t — 9)}} \ge 0
\]
 
3) Объединим подобные: 
\[
\frac{{-t^2 + 21t — 90}}{{(t — 3)(t — 9)}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{t^2 — 21t + 90}}{{(t — 3)(t — 9)}} \le 0
\]
 
4) Найдём нули числителя: 
\[
t^2 — 21t + 90 = 0 \Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
t = 15,\\
t = 6.
\end{array}
\right.
\]
 
5) Найдём нули знаменателя: 
\(t = 3, \; t = 9.\)

 
6) Используем метод интервалов: 
\(\left[3 < t \le 6, \; 9 < t \le 15\right]\)   7) Преобразуем обратно к диапазону для \(x\): 
\(\left[\frac{3}{{\sqrt{3}}} < x \le \frac{6}{{\sqrt{3}}}, \; \frac{9}{{\sqrt{3}}} < x \le \frac{15}{{\sqrt{3}}}\right]\)   8) Таким образом, получаем: 
\(\left[\sqrt{3} < x \le 2\sqrt{3}, \; 3\sqrt{3} < x \le 5\sqrt{3}\right]\)

\(x \in \left( {\sqrt{3}; 2\sqrt{3}} \right] \cup \left( {3\sqrt{3}; 5\sqrt{3}} \right]\)

 
\(\dfrac{2}{{0,5x\sqrt{5} — 1}} + \dfrac{{0,5x\sqrt{5} — 2}}{{0,5x\sqrt{5} — 3}} \ge 2\)
 
 
Пусть \(0,5x\sqrt{5} = t\):
 
\(\dfrac{2}{{t — 1}} + \dfrac{{t — 2}}{{t — 3}} \ge 2\)
 
1) Привели дроби к общему знаменателю&nbsp:
\(\dfrac{{2t — 6 + t^2 — 2t — t + 2 — 2t^2 + 6t + 2t — 6}}{{(t — 1)(t — 3)}} \ge 0\)
 
2) Упростили выражение:
\(\Leftrightarrow \dfrac{{-t^2 + 7t — 10}}{{(t — 1)(t — 3)}} \ge 0\)
 
3) Изменили знак числителя:
\(\Leftrightarrow \dfrac{{t^2 — 7t + 10}}{{(t — 1)(t — 3)}} \le 0\)
 
4) Найдём нули числителя:
\(t^2 — 7t + 10 = 0\) $\Leftrightarrow$ \(t = 5, \; t = 2\)
 
5) Найдём нули знаменателя:
\(t = 1, \; t = 3\) \

 
6) Применим метод интервалов:

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 < t \le 2, \\ 3 < t \le 5 \end{array} \right.\)   7) Перейдём к переменной \(x\):
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1 < 0,5x\sqrt{5} \le 2, \\ 3 < 0,5x\sqrt{5} \le 5 \end{array} \right.\)   8) Решим для \(x\):
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \dfrac{1}{{0,5\sqrt{5}}} < x \le \dfrac{2}{{0,5\sqrt{5}}}, \\ \dfrac{3}{{0,5\sqrt{5}}} < x \le \dfrac{5}{{0,5\sqrt{5}}} \end{array} \right.\)   9) Упростим неравенства:
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \dfrac{2}{{\sqrt{5}}} < x \le \dfrac{4}{{\sqrt{5}}}, \\ \dfrac{6}{{\sqrt{5}}} < x \le 2\sqrt{5} \end{array} \right.\)     \(x \in \left( {\dfrac{2}{{\sqrt{5}}}; \dfrac{4}{{\sqrt{5}}}} \right] \cup \left( {\dfrac{6}{{\sqrt{5}}}; 2\sqrt{5}} \right]\)

Решите неравенство \(\dfrac{{{x^2} — 5x + 3}}{{x — 4}} + \dfrac{{5x — 27}}{{x — 6}} \le x + 4\).
 
1) Выделим целые части дробей с помощью деления уголком: 
\(\dfrac{{{x^2} — 5x + 3}}{{x — 4}} + \dfrac{{5x — 27}}{{x — 6}} \le x + 4 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; x — 1 + \dfrac{{ — 1}}{{x — 4}} + 5 + \dfrac{3}{{x — 6}} \le x + 4\)
 
2) Упростим выражение: 
\(\;\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{3}{{x — 6}} — \dfrac{1}{{x — 4}} \le 0\)
 
3) Преобразуем неравенство: 
\(\;\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3x — 12 — x + 6}}{{\left( {x — 6} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0\)
 
4) Решим полученное неравенство методом интервалов:

 
\(\;\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2x — 6}}{{\left( {x — 6} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0\)
 

\(x \in \left( { — \infty ;3} \right] \cup \left( {4;6} \right)\)

Решите неравенство \(\dfrac{{x{}^2 — 2x — 2}}{{{x^2} — 2x}} + \dfrac{{7x — 19}}{{x — 3}} \le \dfrac{{8x + 1}}{x}\).
 
1) Приведём дроби к общему знаменателю 
\(\dfrac{{x^2 — 2x}}{{x^2 — 2x}} — \dfrac{2}{{x^2 — 2x}} + \dfrac{{7x — 21 + 2}}{{x — 3}} \le \dfrac{{8x}}{x} + \dfrac{1}{x}\)
 
2) Упростим левую сторону 
\(\Leftrightarrow \;\;1 — \dfrac{2}{{x(x — 2)}} + \dfrac{{7(x — 3)}}{{x — 3}} + \dfrac{2}{{x — 3}} \le 8 + \dfrac{1}{x}\)
 
3) Объединим дроби 
\(\Leftrightarrow \;\;1 — \dfrac{2}{{x(x — 2)}} + 7 + \dfrac{2}{{x — 3}} \le 8 + \dfrac{1}{x}\)
 
4) Переносим всё на одну сторону 
\(\Leftrightarrow \;\;\dfrac{2}{{x — 3}} — \dfrac{2}{{x(x — 2)}} — \dfrac{1}{x} \le 0\)
 
5) Упрощаем полученное неравенство 
\(\Leftrightarrow \;\;\dfrac{{2x(x — 2) — 2(x — 3) — (x — 2)(x — 3)}}{{x(x — 2)(x — 3)}} \le 0\)
 
6) Упрощаем числитель 
\(\Leftrightarrow \;\;\dfrac{{2x^2 — 4x — 2x + 6 — x^2 + 3x + 2x — 6}}{{x(x — 2)(x — 3)}} \le 0\)
 
7) Соберём подобные члены 
\(\Leftrightarrow \;\;\dfrac{{x^2 — x}}{{x(x — 2)(x — 3)}} \le 0\)
 
8) Разложим на множители 
\(\Leftrightarrow \;\;\dfrac{{x(x — 1)}}{{x(x — 2)(x — 3)}} \le 0\)
 
9) Учитываем, что \(x \ne 0\) 
\(\Leftrightarrow \;\;\dfrac{{x — 1}}{{(x — 2)(x — 3)}} \le 0\)
 
10) Применим метод интервалов 

Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( -\infty , 0 \right) \cup \left( 0, 1 \right] \cup \left( 2, 3 \right).\)
\(x \in \left( -\infty , 0 \right) \cup \left( 0, 1 \right] \cup \left( 2, 3 \right).\)

Решите неравенство \(\left( \dfrac{2}{25{x^2} — 10x — 8} + \dfrac{25{x^2} — 10x — 8}{2} \right)^{2} \ge 4\).
 1) Пусть  \(\dfrac{25{x^2} — 10x — 8}{2} = t\).  2) Тогда неравенство примет вид:  \(\left( \dfrac{1}{t} + t \right)^{2} \ge 4\)  3) Упростим:  \(t^{2} + 2 \cdot t \cdot \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{t^{2}} \ge 4\)  4) Это эквивалентно:  \(t^{2} + 2 + \dfrac{1}{t^{2}} — 4 \ge 0\)  5) Таким образом:  \(t^{2} + \dfrac{1}{t^{2}} — 2 \ge 0\)  6) Перепишем в виде:  \(\dfrac{t^{4} — 2t^{2} + 1}{t^{2}} \ge 0\)  7) Приведём к квадрату:  \(\dfrac{(t^{2} — 1)^{2}}{t^{2}} \ge 0\).  8) Решение последнего неравенства:  \(t \ne 0\).  9) Вернёмся к прежней переменной:  \(\dfrac{25{x^2} — 10x — 8}{2} \ne 0\)  10) Это эквивалентно:  \(25{x^2} — 10x — 8 \ne 0\)  11) У нас есть два исключения:  \(\left\{ \begin{array}{l} x \ne -\dfrac{2}{5},\\ x \ne \dfrac{4}{5}. \end{array} \right.\)  12) Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( -\infty ; -\dfrac{2}{5} \right) \cup \left( -\dfrac{2}{5}; \dfrac{4}{5} \right) \cup \left( \dfrac{4}{5}; \infty \right)\).
Ответ:  \(x \in \left( -\infty ; -\dfrac{2}{5} \right) \cup \left( -\dfrac{2}{5}; \dfrac{4}{5} \right) \cup \left( \dfrac{4}{5}; \infty \right)\)